슈바르츠실트반지름

슈바르츠실트반지름(슈바르츠실트반경, Schwarzschild radius)은 회전하지 않고 전하가 없는 블랙홀의 반지름이다. 고전역학적으로는 탈출속도(escape velocity)가 빛의 속도와 같아지는 위치이지만 정확하게는 일반상대성이론에서 슈바르츠실트 블랙홀 시공간에서 나타나는 사건의 지평선(event horizon)의 반지름이다. 회전하지 않는 천체의 질량이 이 반지름보다 작으면 블랙홀이 된다. 슈바르츠실트반지름 @@NAMATH_INLINE@@R_S@@NAMATH_INLINE@@는 질량 @@NAMATH_INLINE@@ M_{BH} @@NAMATH_INLINE@@인 블랙홀의 경우

@@NAMATH_DISPLAY@@ R_S = \frac{2GM_{BH}}{c^2} @@NAMATH_DISPLAY@@

(@@NAMATH_INLINE@@G@@NAMATH_INLINE@@는 중력상수, @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@는 빛의 속도)로 블랙홀의 질량에 비례하므로 태양 질량의 10배인 블랙홀의 슈바르츠실트반지름은 약 30 km이며 태양 질량의 1억배인 블랙홀의 슈바르츠실트반지름은 3억 km로 2 천문단위(AU)가 된다.

목차

1783년 영국의 성직자이자 자연철학자였던 미첼(John Michell)과 1795년 프랑스의 라플라스(Pierre Laplace)는 독립적으로 구형 별 표면에서의 탈출속도가 빛의 속도보다 커지게 되면 빛이 별을 탈출할 수 없을 것이라 예측하였다. 고전역학에서 질량 @@NAMATH_INLINE@@M@@NAMATH_INLINE@@, 반경 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@인 천체 표면에서의 탈출속도(escape velocity)는 @@NAMATH_INLINE@@ v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} @@NAMATH_INLINE@@이고 @@NAMATH_INLINE@@ v_{esc} \ge c @@NAMATH_INLINE@@가 만족되려면 별의 반경이 @@NAMATH_INLINE@@2GM/c^2@@NAMATH_INLINE@@ 보다 작으면 된다는 것이다. 즉 뉴튼(Isaac Newton)의 고전역학에서는 별의 크기가 이 반경보다 작아지면 빛조차 탈출할 수 없어야 한다. 물론 속도가 빛의 속도 @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@에 가까워지고 중력이 이 정도로 강한 경우에는 뉴튼 역학이 정확하지 않으므로 아인슈타인의 상대성이론으로 이 문제를 이해해야 한다. 흥미로운 것은 가장 간단한 블랙홀의 경우 뉴튼 역학에서 계산된 값과 상대성이론에서 계산된 값이 같다는 점이다.

가장 간단한 블랙홀은 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild)가 1915년 찾은 아인슈타인의 장방정식(Field Equation)에 대한 해인 슈바르츠실트블랙홀(Schwarzschild black hole)이다. 슈바르츠실트블랙홀은 질량만 있고 각운동량과 전하가 없는 블랙홀인데 이 블랙홀 시공간은 슈바르츠실트계량(Schwarzschild metric)으로 기술된다(그림 1). 이 시공간에서 슈바르츠실트반지름 @@NAMATH_INLINE@@R_S \equiv 2GM/c^2 @@NAMATH_INLINE@@ 안쪽에서 일어난 사건은 바깥쪽 세계와 완전하게 분리되므로 슈바르츠실트반지름을 가진 구면이 사건의 지평선(event horizon)이 된다. 즉 블랙홀의 안과 밖을 나누는 경계인 셈이다. 어떤 천체의 크기가 이 반지름보다 작아지면 사건의 지평선이 생긴 것이므로 블랙홀이 된다.

상대성이론에 따르면 이 반지름에 가까이 갈수록(멀리 위치한 관찰자가 보기에) 시간이 점점 느려지고 상대론적효과들도 커지게 된다. 슈바르츠실트 시공간 중 2차원만을 시각화한 그림 1에서 슈바르츠실트반지름은 깔대기 맨 아래 구멍, 즉 사건의 지평선의 반지름에 해당한다.

그림 1: 블랙홀 시공간의 휜 정도를 시각화한 그림(출처: )

질량 @@NAMATH_INLINE@@M_{BH}@@NAMATH_INLINE@@인 블랙홀에 대한 슈바르츠실트반지름은

@@NAMATH_DISPLAY@@ R_{Sch}= \frac{2GM_{BH}}{c^2} @@NAMATH_DISPLAY@@

로 주어지므로 오로지 블랙홀의 질량에만 비례한다. 태양 질량을 기준으로 계산하면

@@NAMATH_DISPLAY@@ R_{Sch}= 3.0 \left(\frac{M_{BH}}{M_\odot}\right) {\rm km} @@NAMATH_DISPLAY@@

여서 태양 질량의 10배인 블랙홀의 슈바르츠실트반지름은 약 30 km이지만 태양 질량의 1억배인 블랙홀의 슈바르츠실트반지름은 3억 km로 태양-지구 거리의 2배이다. 반면에 만약 질량이 @@NAMATH_INLINE@@ 10^{12}@@NAMATH_INLINE@@ kg인 원시블랙홀(primordial black hole)이 존재한다면 이 블랙홀의 슈바르츠실트반지름은 @@NAMATH_INLINE@@1.5\times 10^{-15}@@NAMATH_INLINE@@ m로 원자핵 정도 크기가 될 것이다.

블랙홀은 잘 정의된 표면이 존재하지 않는 천체이지만 블랙홀의 크기를 슈바르츠실트반지름으로 생각한다면 평균 밀도를 정의할 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@ {\bar\rho}_{BH} = \frac{M_{BH}}{\frac{4\pi}{3} R_{Sch}^3} = \frac{3}{32\pi}\frac{c^6}{G^3}\frac{1}{M_{BH}^2} = 1.9\times 10^{16} \left(\frac{M_{BH}}{M_\odot}\right)^{-2} {\rm g}~{\rm cm}^{-3} @@NAMATH_DISPLAY@@

따라서 태양을 블랙홀로 만들려면 태양을 압축하여 평균밀도를 @@NAMATH_INLINE@@1.9\times 10^{16} {\rm g}~{\rm cm}^{-3}@@NAMATH_INLINE@@ 이상으로 만들어야 하고 질량이 더 작은 블랙홀을 만들려면 더 높은 밀도로 압축하여야 한다. 하지만 질량이 태양 질량의 1.9억배 이상이 되면 이 밀도는 @@NAMATH_INLINE@@1~~ {\rm g }~{\rm cm}^{-3}@@NAMATH_INLINE@@ 이하가 되어 물 보다 밀도가 낮은 블랙홀이 된다. 즉 작은 블랙홀을 만들기 위해서는 엄청난 밀도로 압축하여야 하지만 질량이 큰 블랙홀은 압축할 필요없이 많은 질량이 모이기만 하면 쉽게 만들어질 수 있다. 정상적인 별은 저절로 이런 밀도로 압축되지는 않지만 별의 질량이 태양 질량의 수십배 이상이 되면 별의 진화과정 마지막 단계에서 별 자체의 중력에 의해 이런 밀도를 넘어서 압축되면서 블랙홀이 만들어질 것으로 예상된다.