자기장

그림 1. 자기장이 관찰자를 향하는 경우, 양의 전하를 갖는 양전자는 운동하면서 오른쪽으로 힘을 받아 시계방향으로 회전운동하고, 음의 전하를 갖는 전자는 온쪽으로 힘을 받아 반시계방향으로 회전운동한다.(출처: 채종철/한국천문학회)

자기장은 자석 등의 영향으로 자기력이 작용하는 공간의 성질이다. 어떤 곳에서 움직이는 하전입자가 전하와 속력에 비례하는 힘, 곧 자기력을 받는다면, 그 곳에는 자기장이 있다. 전하가 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@이고, 속도가 @@NAMATH_INLINE@@\vec w@@NAMATH_INLINE@@인 하전입자가 받는 자기력이 @@NAMATH_INLINE@@\vec f@@NAMATH_INLINE@@라고 할 때, 자기장은

@@NAMATH_DISPLAY@@ \vec f = q {\vec w/c} \times \vec B \qquad (1) @@NAMATH_DISPLAY@@

을 만족하는 @@NAMATH_INLINE@@\vec B@@NAMATH_INLINE@@로 정한다(가우스 전자기단위를 썼음). 자기력은 하전입자의 속도 @@NAMATH_INLINE@@\vec w @@NAMATH_INLINE@@에 수직으로 작용하므로, 자기력을 받는 하전입자는 원운동을 한다. 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@의 부호가 바뀌면 자기력의 방향도 반대가 된고 원운동의 방향도 반대가 된다. 그림 1의 경우처럼, 어떤 공간에서 양의 전하를 갖는 양전자는 시계 방향으로 원운동하고, 음의 전하를 갖는 전자는 반시계 방향으로 원운동한다고 하면, 이 공간에는 관찰자를 향하는 방향의 자기장이 있음을 알 수 있다. 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@, 속력 @@NAMATH_INLINE@@w@@NAMATH_INLINE@@, 힘의 세기 @@NAMATH_INLINE@@f@@NAMATH_INLINE@@가 알려지면, 자기장의 세기는 식 @@NAMATH_INLINE@@B = f/(q w/c)@@NAMATH_INLINE@@을 써서 결정할 수 있다.

자기장은 전류에서 나온다. 속성에 따라 자기장을 유발하는 전류는 세 가지 종류로 나눌 수 있다(그림 2 참조). 첫째 플라스마나 전기 도선에서 흐르는 보통 전류이다. 이 경우 자유 하전입자의 병진운동, 특히 자유전자의 움직임이 전류가 되어 자기장을 유발한다. 이런 전류가 흐르는 도선은 마치 자석과 같다. 이것이 전자석(electromagnet)이다. 전기 저항을 무시할 수 없는 경우에, 시간이 흐르면서 전류는 소멸되고, 이에 따라 자기장도 사라진다.

둘째, 원자 규모의 전류이다. 이 전류는 원자 안 구속전자의 궤도 운동과 전자의 스핀과 연관된다. 전자의 궤도 운동은 원자 이하 규모의 고리 전류(loop current)를 형성한다. 전자 스핀은 자전에 대응되는 양자적 개념으로서, 가장 작은 규모의 고리 전류를 형성한다. 각각의 고리 전류는 자기장의 N극과 S극으로 이루어진 자기쌍극자(magnetic dipole)가 된다. 이 자기 쌍극자가 유발하는 자기장은 고리 전류와 고리 면적의 곱, 곧 자기쌍극모멘트(magnetic dipole moment)에 의해 결정된다. 스핀 때문에 모든 전자는 자기쌍극모멘트를 갖게 되고 미세한 자기장을 유발한다. 이 점에서 전자 하나하나는 아주 작은 자석이라고 할 수 있다. 일반적으로 물질을 구성하는 전자들의 스핀은 제 각각이어서, 이런 미세 자기장은 서로 상쇄되어, 큰 규모에서 보면 없는 거나 마찬가지이다. 하지만 특별한 경우, 전자들의 스핀이 일정한 방향으로 정렬하게 하는 장치가 작동하게 되면, 이 미세 자기장은 합쳐져서 측정 가능한 자기장을 유발한다. 이것이 영구 자석이다.

셋째, 특별한 전류이다. 전기장이 시간에 따라 변하는 경우에는 전기장의 변화율에 비례하는 전류가 존재하는 것처럼 보이는데, 이를 변위전류(displacement current)라고 한다. 이 전류는 하전입자의 흐름과 무관하며, 심지어는 하전 입자가 없는 진공에서도 존재할 수 있다. 변위전류의 개념을 도입한 사람은 영국 물리학자 맥스웰(James C. Maxwell)이다. 맥스웰은 이 개념을 도입함으로써 전기와 자기 현상의 대칭적 상호 작용을 완벽하게 기술할 수 있는 방정식의 집합, 곧 맥스웰 방정식을 완성하였다. 또 맥스웰은 이 방정식으로부터, 진공 속에서도 전파할 수 있는 전자기파의 존재를 예측했다. 전자기파는 자기장과 전기장이 매우 빠르게 변화하며 전파하는 현상인데, 이 빠르게 변하는 자기장은 바로 변위전류가 유발한 것이다.

그림 2. 자기장을 유발하는 전류. 녹색 곡선은 전류의 흐름, 청색 곡선은 자기력선을 나타낸다. 파란색 닫힌 원들은 음의 하전입자, 곧 전자를 나태내고, 빨간색 닫힌 원들은 양의 하전입자를 나타낸다.(1) 도선이나 플라스마에서 자유전자의 병진운동에 연관된 전류.(2) 원자 안의 전자의 궤도 운동 또는 스핀에 연관된 미세 고리 전류(자기 쌍극자).(3) 전기장의 시간적 변화율에 비례하는 변위전류. 축전기의 양쪽에 쌓이는 반대 극성의 전하량이 증가하면 전기장이 세지고, 전기장의 변화율에 비례하는 변위전류가 생김.(출처: 채종철/한국천문학회)

목차

그림 3. 전류와 자기장. @@NAMATH_INLINE@@\nabla \times \vec B@@NAMATH_INLINE@@는 줌심부에서만 0이 아니고, 다른 곳에서는 0이다. 자기장의 공간적 변화를 보고 전류가 중심부에 관찰자를 향해 흐르는 전류가 있음을 알 수 있다. 사각형으로 표시한 곳을 관심 영역으로 잡으면, 이 곳에는 전류가 없으므로, 이 영역의 자기장은 포텐셜 자기장이다.(출처: 채종철/한국천문학회)

플라스마에서 자기장을 유발하는 전류는 전류밀도벡터 @@NAMATH_INLINE@@\vec J@@NAMATH_INLINE@@를 도입하면 기술하기 쉽다. 전류밀도벡터의 세기는 단위면적당 통과하는 전류로 정의하고, 방향은 전류의 방향으로 정의한다. 플라스마에서 전류밀도 @@NAMATH_INLINE@@\vec J@@NAMATH_INLINE@@는 일정한 부피 @@NAMATH_INLINE@@ V @@NAMATH_INLINE@@를 갖는 공간 안에 있는 모든 하전입자의 전하와 속도의 곱을 합한 후, 부피로 나누어 준 값과 같다. 즉,

@@NAMATH_DISPLAY@@ \vec J \equiv \frac{\sum_k q_k w_k} { V } \qquad (2) @@NAMATH_DISPLAY@@

이다. 어떤 위치에서 자기장은 우주에 있는 모든 전류가 유발하는 자기장의 합이다. 우주의 모든 위치 @@NAMATH_INLINE@@\vec r^\prime @@NAMATH_INLINE@@에서 전류밀도벡터 @@NAMATH_INLINE@@\vec J @@NAMATH_INLINE@@가 알려져 있다면 우주의 다른 지점 @@NAMATH_INLINE@@\vec r@@NAMATH_INLINE@@에 미치는 자기장은 식

@@NAMATH_DISPLAY@@ \vec B = \int \frac{\vec J(\vec r^\prime) }{c} \times \frac{(\vec r - \vec r^\prime) }{| \vec r - \vec r^\prime|^3} d \vec r^\prime \qquad (3) @@NAMATH_DISPLAY@@

을 이용해 계산할 수 있다. 이 식을 보면 한 점에 자기장 @@NAMATH_INLINE@@\vec B@@NAMATH_INLINE@@이 존재한다면, 우주의 다른 곳에 이 자기장의 근원이 되는 전류가 존재한다고 말할 수 있다. 다른 곳의 한 점 @@NAMATH_INLINE@@\vec r_0 @@NAMATH_INLINE@@ 주변 작은 공간에 흐르는 전류가 이 점에 기여하는 자기장은

@@NAMATH_DISPLAY@@ \delta \vec B = \frac{\vec J(\vec r_0)}{c} { A l} \times \frac{(\vec r - \vec r_0)}{| \vec r - \vec r_0|^3} = \frac{I(\vec r_0)}{c} l \hat l \times \frac{(\vec r - \vec r_0) }{ |\vec r - \vec r_0|^3} \qquad (4) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@는 통상적인 전류, @@NAMATH_INLINE@@\hat l@@NAMATH_INLINE@@은 전류방향 단위벡터, @@NAMATH_INLINE@@\delta l@@NAMATH_INLINE@@은 공간의 전류 방향 길이이다. 이 식이 잘 알려진 비오-사바르 법칙(Biot-Savart law)이다.

식(3)과 식(4)에서 우리는 전류의 공간적 분포가 알려져 있다면, 관심 지점의 자기장을 결정할 수 있음을 알 수 있다. 하지만 전류의 공간적 분포를 아는 것은 매우 어렵고, 사실상 불가능하다. 오히려 자기장의 공간적 분포를 결정하는 것이 쉬어 보일 수 있다. 이때는 거꾸로 자기장의 공간적 분포로부터 전류의 존재를 결정하는 것을 생각해 볼 수 있다. 이를 위해 사용할 수 있는 식이 바로 미분 형태의 식으로 표시된 암페어법직

@@NAMATH_DISPLAY@@ \nabla \times \vec B = 4 \pi \vec J/c \qquad (5) @@NAMATH_DISPLAY@@

이다. 수평 방향의 두 자기장 성분 @@NAMATH_INLINE@@B_x@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@B_y@@NAMATH_INLINE@@이 위치 @@NAMATH_INLINE@@(x,y)@@NAMATH_INLINE@@의 함수로 알려져 있다면, 전류의 수직 성분은 식

@@NAMATH_DISPLAY@@ J_z = \frac{c}{4 \pi} \left( \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} \right) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같다. 그림 3은 자기장과 전류의 관계의 사례를 보여주고 있다. 자기력선은 한 점을 중심으로 돌아가고 있는데, 이 점이 @@NAMATH_INLINE@@\nabla \times \vec B@@NAMATH_INLINE@@의 수직 성분, 곧 전류의 수직 성분 @@NAMATH_INLINE@@J_z@@NAMATH_INLINE@@ 0이 아닌 곳이다. 이 점에서는 전류가 관찰자 방향으로 흐르고 있다.

자기장 @@NAMATH_INLINE@@\vec B @@NAMATH_INLINE@@은 항상

@@NAMATH_DISPLAY@@ \nabla \cdot \vec B = 0 \qquad (6)@@NAMATH_DISPLAY@@

을 만족하므로 벡터장(vector field) @@NAMATH_INLINE@@\vec A@@NAMATH_INLINE@@을 도입하여

@@NAMATH_DISPLAY@@\vec B = \nabla \times \vec A \qquad (7) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같은 형태로 쓸 수 있다. 이는 임의의 벡터장 @@NAMATH_INLINE@@\vec A@@NAMATH_INLINE@@에 대해 @@NAMATH_INLINE@@\nabla \cdot \nabla \times \vec A=0@@NAMATH_INLINE@@이 되기 때문이다. 이 벡터장 @@NAMATH_INLINE@@\vec A@@NAMATH_INLINE@@를 벡터포텐셜(vector potential)이라고 한다. 식(3)과 식(7)을 결합하면 관계식

@@NAMATH_DISPLAY@@\vec A = \int \frac{\vec J(\vec r^\prime) }{c} \times \frac{ 1}{| \vec r - \vec r^\prime|} d \vec r^\prime \qquad (8) @@NAMATH_DISPLAY@@

을 추론할 수 있다.

특별히 작은 고리전류, 곧 자기쌍극자가 유발하는 자기장을 기술하는 벡터포텐셜은

@@NAMATH_DISPLAY@@ \vec A = \vec m \times \frac{\vec r}{r^3} \qquad (9) @@NAMATH_DISPLAY@@

로 주어진다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\vec m =( IA/c ) \hat n\ @@NAMATH_INLINE@@은 전류 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@와 면적 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@에 비례하는 쌍극자의 자기모멘트이다.

식(7)과 식(9)을 이용하면 자기쌍극자가 유발하는 자기장은

@@NAMATH_DISPLAY@@ \vec B = -\frac{\vec m}{r^3} + 3(\vec m \cdot \vec r) \frac{\vec r}{r^5} \qquad (10) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같다.

자기장은 특별한 경우에 스칼라장(scalar field)을 써서도 기술할 수 있다. 관심 영역 안에 전류가 없다면, 식(5)는

@@NAMATH_DISPLAY@@ \nabla \times \vec B = 0 \qquad (11) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같이 된다. 이런 경우에 자기장은 스칼라 포텐셜 @@NAMATH_INLINE@@\phi_m@@NAMATH_INLINE@@를 도입해면

@@NAMATH_DISPLAY@@ \vec B = - \nabla \phi_m \qquad (12) @@NAMATH_DISPLAY@@

과 같은 형태로 쓸 수 있다. 이는 임의의 스칼라장 @@NAMATH_INLINE@@\phi_m@@NAMATH_INLINE@@에 대해 @@NAMATH_INLINE@@\nabla \times \nabla \phi_m=0@@NAMATH_INLINE@@ 이 성립하기 때문이다. 식(6)을 활용하면

@@NAMATH_DISPLAY@@ \nabla^2 \phi_m = 0 \qquad (13) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같이 @@NAMATH_INLINE@@\phi_m@@NAMATH_INLINE@@에 대한 라플라스 방정식(Laplace equation)을 얻게된다. 관심 영역의 포텐셜 자기장을 기술하는 포텐셜을 결정하려면 관심 영역의 경계 조건을 지정해 주어야 한다.

이렇게 스칼라 포텐셜로써 기술할 수 있는 자기장을 포텐셜자기장(potential magnetic field)라고 한다. 포텐셜자기장은 주어진 경계조건을 만족하는 자기장 중 에너지가 가장 낮은 자기장이다. 관심 영역에는 전류가 없어야 하므로 무전류자기장(current-free field) 이라고도 하고, 진공자기장(vacuum field)라고도 한다. 그림 3에서 보면 전류는 가운데에 존재한다. 따라서 이 전류가 흐르는 가운데를 제외한 모든 영역의 자기장은 포텐셜자기장이라고 할 수 있다.

어떤 플라스마에서는 자기장은 상대적으로 강하지만, 압력과 밀도는 낮아, 자기력을 제외한 다른 모든 힘이 무시할 정도로 작다. 이 경우에 플라스마 단위 부피에 작용하는 힘의 총합은 로렌쯔 힘

@@NAMATH_DISPLAY@@ \vec F_L = \frac{\vec J}{c} \times \vec B \qquad (14) @@NAMATH_DISPLAY@@

과 같다. 이 로렌쯔 힘은 자기장의 공간적 구조만으로 결정된다. 이 힘이 0이 아니면 플라스마는 힘을 받아 움직이고, 플라스마의 운동으로 자기장의 구조는 변하게 된다. 자기장의 구조 변화는 그 힘을 0이 되게 만드는 방향으로 이루어진다. 따라서 충분히 시간이 지나면 플라스마에 작용하는 모든 힘이 사라지도록 자기장의 구조가 정해질 것으로 기대할 수 있다. 로렌쯔 힘이 0이 되게 하는 구조를 갖는 자기장을 무력자기장이라고 한다. 플라스마에 작용하는 자기력이 0이 되려면 전류가 0이거나, 전류 @@NAMATH_INLINE@@ \vec J@@NAMATH_INLINE@@와 자기장 @@NAMATH_INLINE@@\vec B @@NAMATH_INLINE@@이 나란하면 된다. 어느 경우든 전류밀도는

@@NAMATH_DISPLAY@@ 4 \pi \vec J/c = \alpha \vec B \qquad (15) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같이 쓸 수 있고 식(5)는

@@NAMATH_DISPLAY@@ \nabla \times \vec B = \alpha \vec B \qquad (16) @@NAMATH_DISPLAY@@ 와 같이 쓸 수 있다. @@NAMATH_INLINE@@\alpha@@NAMATH_INLINE@@가 0이면 전류가 0이되어, 자기장은 위에 기술한 포텐셜 자기장이 된다. 포텐셜자기장은 무력 자기장 중 가장 간단한 형태이다. @@NAMATH_INLINE@@\alpha@@NAMATH_INLINE@@가 0이 아니면 전류는 0이 아니다. 이때 전류는 자기장과 나란하게 흐른다. @@NAMATH_INLINE@@\alpha@@NAMATH_INLINE@@가 위치에 상관없이 일정하면 이 방정식은 @@NAMATH_INLINE@@\vec B@@NAMATH_INLINE@@에 대한 선형미분방정식 경계치 문제가 되므로, 이를 만족하는 자기장은 선형무력자기장(linear force-free field)라고 한다. 반면 @@NAMATH_INLINE@@\alpha@@NAMATH_INLINE@@가 일정하지 않은 경우 위 문제는 비선형미분방정식 경계치 문제가 되고, 이런 자기장은 비선형무력자기장(non-linear force-free field)이라고 한다. 그림4는 태양표면에서 관측된 자기장에 바탕을 둔 경계조건을 써서 만들어 낸 3차원 비선형무력자기장 모형의 예이다. 이 경우 중심부에는 꼬인 자기력선으로 이루어진 자속밧줄(magnetic flux rope) 구조가 있다.

그림 4. 모형 계산된 비선형무력자기장의 자기력선들. 적색 곡선은 자속밧줄을 구성하는 중심부 자기력선이다.(출처: )