전자기단위

[ electromagnetism unit ]

전자기단위는 전기와 자기 현상을 기술하는 변수나 상수의 물리 단위이다. 전자기 현상을 기술하는 단위 체계에 따라 물리량이 값은 물론이고, 차원이 달라지거나 방정식의 모양이 달라지기도 한다. 이는 단위 체계가 전기력, 자기력, 전기장, 자기장을 정의하는 방식과 긴밀하게 연결되기 때문이다. 가우스 단위 체계는 CGS(센티미터-그램-초) 단위를 바탕으로 전하의 단위를 정한 후 이로부터 다른 모든 전기와 자기 관련 물리량의 단위를 정의한다. SI 단위 체계에서는 기본적으로 MKS(미터-킬로그램-초) 단위를 쓰며, 전류의 단위를 먼저 정의한 후 자기장과 자기력을 정의한다. 가우스 단위체계에서는 전기장과 자기장이 같은 차원의 물리량이므로 직접 비교 가능하나 SI 단위계에서는 적절한 계수를 곱하기 전에는 두 양을 직접 비교하기 어렵다. 천문학에서는 전통적으로 CGS 단위가 많이 사용되기 때문에 전자기단위도 가우스 단위 체계를 쓰는 경우가 많다.

전기력은 두 하전입자의 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@q^\prime@@NAMATH_INLINE@@의 곱에 비례하고, 두 전하 사이의 거리 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@의 제곱에 반비례한다. 가우스 단위 체계에서는 비례 상수로 1을 택하여 전기력을

@@NAMATH_DISPLAY@@ F_E = \frac{q q^\prime}{r^2} \qquad (1) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같이 표시한다. 이 식을 이용하여 전하량의 단위를 정한다. 즉 거리가 1 cm 떨어진 동일한 전하 사이의 힘이 1 dyn이 되게 하는 전하를 1 statC(스탯쿨론) 또는 1 Fr(프랭클린) 또는 1 esu(정전기 단위) 전하라고 한다. 이 식을 응용하면 전하 @@NAMATH_INLINE@@q^\prime@@NAMATH_INLINE@@에서 거리가 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@ 만큼 떨어져 있는 지점의 전기장과 전위는 각각

@@NAMATH_DISPLAY@@ E = \frac{q^\prime}{r^2} \qquad (2) @@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@ \Phi = \frac{q^\prime}{r} \qquad (3) @@NAMATH_DISPLAY@@

로 표시할 수 있다. 1 statC인 전하에서 1 cm 떨어진 지점의 전위는 1 statV(스탯볼트)라고 하는데 이는 1 statC cm@@NAMATH_INLINE@@^{-1}@@NAMATH_INLINE@@와 같다. 같은 지점의 전기장은 1 statV cm@@NAMATH_INLINE@@^{-1}@@NAMATH_INLINE@@=1 statC cm@@NAMATH_INLINE@@^{-2}@@NAMATH_INLINE@@이다.

자기력, 자기장

일정한 거리만큼 떨어져서 나란하게 움직이는 두 하전 입자는 자기력을 받는다. 이 자기력은 한 입자의 전하 속도 곱 @@NAMATH_INLINE@@q v@@NAMATH_INLINE@@ 및 다른 입자의 전하 속도 곱 @@NAMATH_INLINE@@q^\prime v^\prime @@NAMATH_INLINE@@에 비례하며 거리 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@의 제곱에 반비례한다. 비례상수를 @@NAMATH_INLINE@@1/c^2@@NAMATH_INLINE@@로 잡으면 자기력은

@@NAMATH_DISPLAY@@ F_M = \frac{1}{c^2} \frac{(q v)(q^\prime v^\prime)}{r^2} \qquad (4) @@NAMATH_DISPLAY@@

과 같이 되어 전기력과 물리 차원이 같아진다. 자기장은 움직이는 하전입자가 다른 하전 입자에 미치는 영향을 나타내는데, 기본적으로 그 입자의 전하 속도 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다. 그 비례 상수를 @@NAMATH_INLINE@@1/c@@NAMATH_INLINE@@으로 정해 자기장을

@@NAMATH_DISPLAY@@ B = \frac{ 1}{c} \frac{ q^\prime v^\prime }{r^2} \qquad (5) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같이 정의한다. 이렇게 정의된 자기장 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@는 전기장 @@NAMATH_INLINE@@E@@NAMATH_INLINE@@와 같은 물리 차원을 갖게 된다. 속도 1 cm s@@NAMATH_INLINE@@^{-1}@@NAMATH_INLINE@@로 움직이는 1statC의 전하에서 운동방향으로 수직으로 1 cm 만큼 떨어진 곳의 자기장은 1/(2.998@@NAMATH_INLINE@@\times@@NAMATH_INLINE@@10¹⁰) statC cm^-2 = 3.336@@NAMATH_INLINE@@\times@@NAMATH_INLINE@@10^-11 G(가우스)가 된다.

전기장과 자기장을 벡터량으로 표시하면 가우스 단위 체계에서는 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@에 작용하는 전기력과 자기력의 합, 곧 로렌쯔 힘은

@@NAMATH_DISPLAY@@ \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \qquad (6) @@NAMATH_DISPLAY@@

으로 표현된다.

국제표준(SI) 전자기단위

길이와 질량과 시간과 전류의 단위를 먼저 정의하고 이로부터 전하, 전기장, 자기장을 정의하는 단위 체계이다. 길이는 m로, 질량은 kg으로, 시간은 s로, 전류는 A이다.

그림 2. SI 단위계의 전류 단위 암페어(A) 정의. (출처: 채종철/천문학회)

전류, 자기장

전류는 먼저 다음과 같이 정의한다. 1 m 떨어진 두 도선에 동일한 전류가 흐르며 도선 1m 길이에 작용하는 힘이 @@NAMATH_INLINE@@2\times 10^{-7}@@NAMATH_INLINE@@ N이면, 이 도선에 흐르는 전류가 1 A이다(그림 2). 자기장이 있는 공간에서 전류가 흐르는 도선은 자기력을 받는다. 이 자기력의 세기는 전류 @@NAMATH_INLINE@@I@@NAMATH_INLINE@@와 도선의 길이 @@NAMATH_INLINE@@l@@NAMATH_INLINE@@와 자기장 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@에 비례한다. SI 단위계에서는 그 비례 상수를 1로 잡는다. 즉,

@@NAMATH_DISPLAY@@ F_M = I l B \qquad (7) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같다. 이 식을 이용해 자기장 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@의 단위 T(테슬라)를 다음과 같이 정의한다. 1 A 전류가 흐르는 도선 1 m가 받는 자기력이 1 N이면 이 지점의 자기장은 1 T이다. (그림 3). 즉 1 T = 1 N A@@NAMATH_INLINE@@^{-1}@@NAMATH_INLINE@@ m@@NAMATH_INLINE@@^{-1}@@NAMATH_INLINE@@이다.

이 경우 전하량이 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@이고 속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 움직이는 하전입자 1개에 작용하는 자기력은

@@NAMATH_DISPLAY@@ F_M = q v B \qquad (8) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같다.

그림 3. SI 단위계의 자기장 단위 테슬라(T) 정의. 자기장은 지면에서 나오는 방향이다. (출처: 채종철/천문학회)

한편 자기장은 근원이 되는 전류와 연관된다. 전류 @@NAMATH_INLINE@@I^\prime@@NAMATH_INLINE@@가 흐르는 도선에서 일정 거리 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@ 만큼 떨어진 지점의 자기장 세기는 @@NAMATH_INLINE@@I^\prime@@NAMATH_INLINE@@에 비례하고 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@에 반비례한다. 위에서 전류 단위 1 A의 정의와 자기장 단위 1 T의 정의를 결합하면, 1 A 전류가 흐르는 도선에서 1 m 떨어진 곳의 자기장 세기는 @@NAMATH_INLINE@@2\times 10^{-7}@@NAMATH_INLINE@@ T이다. 따라서 비례 상수는 바로 이 값이다. 이 값을 @@NAMATH_INLINE@@\mu_0/2\pi@@NAMATH_INLINE@@로 정의하면 자기장은

@@NAMATH_DISPLAY@@ B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{ I^\prime }{r} \qquad (9) @@NAMATH_DISPLAY@@

로 표현된다. 여기에서 @@NAMATH_INLINE@@\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}@@NAMATH_INLINE@@ T A^-1 m 이다. 속도 @@NAMATH_INLINE@@v^\prime@@NAMATH_INLINE@@으로 움직이고, 전하가 @@NAMATH_INLINE@@q^\prime@@NAMATH_INLINE@@인 하전입자에서 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@ 만큼 떨어진 지점의 자기장은

@@NAMATH_DISPLAY@@ B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{ q^\prime v^\prime }{r^2} \qquad (10) @@NAMATH_DISPLAY@@

로 쓸 수 있다.

전하량, 전기력

어떤 면을 가로질러 전류 1A가 1 초 동안 흐를 때, 통과한 전하량은 1 C이다. 두 하전 입자 사이에 작용하는 전기력은 두 전하의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다. 비례상수를 @@NAMATH_INLINE@@1/4\pi\epsilon_0@@NAMATH_INLINE@@로 표시하면 전기력은

@@NAMATH_DISPLAY@@ F_E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q q^\prime}{r^2} \qquad (11) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같다. 여기에 도입한 @@NAMATH_INLINE@@\epsilon_0@@NAMATH_INLINE@@은 앞에서 도입한 @@NAMATH_INLINE@@\mu_0@@NAMATH_INLINE@@과 연관되어 있다. @@NAMATH_INLINE@@\epsilon_0= 1/(\mu_0 c^2)= 8.85 \times10^{-12} {\rm N}^{-1} \,{\rm m}^{-2} \, {\rm C}^{2}@@NAMATH_INLINE@@이다. 이에 따라 @@NAMATH_INLINE@@1/(4\pi\epsilon_0)=10^{-7} c^2= 8.99 \times 10^9 \, {\rm N} \,{\rm m}^2 \, {\rm C}^{-2}@@NAMATH_INLINE@@이다. 이 식을 응용하면 전하 @@NAMATH_INLINE@@q^\prime@@NAMATH_INLINE@@에서 거리가 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@ 만큼 떨어져 있는 지점의 전기장과 전위는 각각

@@NAMATH_DISPLAY@@ E =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^\prime}{r^2} \qquad (12) @@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@ \Phi =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q^\prime}{r} \qquad (13) @@NAMATH_DISPLAY@@

로 표시한다. 전기장과 자기장을 벡터량으로 표시하면 SI 단위 체계에서는 속도 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}@@NAMATH_INLINE@@로 움직이는 전하 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@에 작용하는 전기력과 자기력의 합, 곧 로렌쯔 힘은

@@NAMATH_DISPLAY@@ \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \qquad (14) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같다.

두 단위계 비교

방정식 전환 규칙

전자기 방정식을 가우스 전자기단위에서 SI 전자기단위로 변환하려면 다음 세 가지 규칙을 활용한다.

전기장 자기장에 기여하는 전하, 전하 밀도, 전류 밀도의 변환: @@NAMATH_INLINE@@q^\prime, \rho, J \rightarrow \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q^\prime, \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\rho, \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} J@@NAMATH_INLINE@@
광속 변환: @@NAMATH_INLINE@@ \frac{1}{c^2} \rightarrow \epsilon_0 \mu_0 @@NAMATH_INLINE@@
자기장 변환: @@NAMATH_INLINE@@{B} \rightarrow c {B} @@NAMATH_INLINE@@

맥스웰 방정식

물질을 구성하는 모든 전류와 전하를 미시적으로 기술하면, 전기분극(polarization)과 자화(magnetization)를 도입할 필요가 없고(@@NAMATH_INLINE@@ \mathbf{P}=\mathbf{M}=0@@NAMATH_INLINE@@), 맥스웰 방정식이 간단해진다. 이런 미시적 기술 방법은 플라스마의 전기와 자기 현상을 다루는데 유용한 접근방법이다. 표 1에는 가우스 단위계 미시적 맥스웰 방정식과 SI 단위계 미시적 맥스웰 방정식을 비교해서 제시했다.

표 1. 맥스웰 방정식 비교표
이름	가우스 단위	SI 단위
로렌쯔 힘	@@NAMATH_INLINE@@q(\mathbf{E} + \frac{1}{c} \mathbf{v}\times \mathbf{B}) @@NAMATH_INLINE@@	@@NAMATH_INLINE@@q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})@@NAMATH_INLINE@@
가우스 법칙	@@NAMATH_INLINE@@\nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho@@NAMATH_INLINE@@	@@NAMATH_INLINE@@\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0@@NAMATH_INLINE@@
자기장 가우스 법칙	@@NAMATH_INLINE@@\nabla \cdot \mathbf{B} = 0@@NAMATH_INLINE@@	@@NAMATH_INLINE@@\nabla \cdot \mathbf{B} = 0@@NAMATH_INLINE@@
패러데이 자기유도 법칙	@@NAMATH_INLINE@@\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}@@NAMATH_INLINE@@	@@NAMATH_INLINE@@\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}@@NAMATH_INLINE@@
암페어 법칙	@@NAMATH_INLINE@@\nabla \times \mathbf{B} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{J} + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}@@NAMATH_INLINE@@	@@NAMATH_INLINE@@\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}@@NAMATH_INLINE@@

자기유체역학 방정식

자기유체역학(magnetohydrodynamics)에서는 변이 전류를 무시한다. 표 2는 자기유체역학 방정식에 사용되는 물리량이나 방정식을 가우스 단위계와 SI 단위계를 비교한 것이다.

표 2. 자기유체역학 방정식 비교표
이름	가우스 단위	SI 단위
전류밀도	@@NAMATH_INLINE@@ \mathbf{J}=\frac{c}{4 \pi} \nabla \times \mathbf{B}@@NAMATH_INLINE@@	@@NAMATH_INLINE@@ \mathbf{J}=\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} @@NAMATH_INLINE@@
단위부피당 로렌쯔 힘	@@NAMATH_INLINE@@ \frac{1}{4 \pi}(\nabla \times \mathbf{B})\times \mathbf{B}@@NAMATH_INLINE@@	@@NAMATH_INLINE@@ \frac{1}{\mu_0}(\nabla \times \mathbf{B})\times \mathbf{B}@@NAMATH_INLINE@@
옴의 법칙	@@NAMATH_INLINE@@\mathbf{J}=\sigma(\mathbf{E} + \frac{1}{c} \mathbf{v}\times \mathbf{B}) @@NAMATH_INLINE@@	@@NAMATH_INLINE@@\mathbf{J}=\sigma(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times \mathbf{B}) @@NAMATH_INLINE@@
자기유도방정식	@@NAMATH_INLINE@@\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times(\mathbf{v} \times \mathbf{B} - \eta \nabla \times \mathbf{B})@@NAMATH_INLINE@@	@@NAMATH_INLINE@@\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times(\mathbf{v} \times \mathbf{B} - \eta \nabla \times \mathbf{B} )@@NAMATH_INLINE@@
자기확산계수	@@NAMATH_INLINE@@ \eta = \frac{c^2}{4 \pi \sigma} @@NAMATH_INLINE@@	@@NAMATH_INLINE@@ \eta = \frac{1}{\mu_0 \sigma} @@NAMATH_INLINE@@

단위 환산

표 3에서 보듯이 가우스 단위계의 모든 전자기 단위는 기본 물리 단위(cm, g, s)로 표시할 수 있다. 또 각 물리량 별로 오른쪽 열에 제시된 계수를 곱하면 가우스 단위를 SI 단위로 쉽게 환산할 수 있다.

표 3. 전자기 단위 환산표
이름	가우스 단위	기본 물리 단위	SI 단위 환산
전류	1 statA	1 cm^3/2g^1/2s⁻²	@@NAMATH_INLINE@@\frac{1}{2.998\times 10^9}@@NAMATH_INLINE@@ A
자기장	1 G	1 cm^−1/2g^1/2s⁻¹	@@NAMATH_INLINE@@10^{-4}@@NAMATH_INLINE@@ T
전하량	1 statC	1 cm^3/2g^1/2s⁻¹	@@NAMATH_INLINE@@\frac{1}{2.998\times 10^9}@@NAMATH_INLINE@@ C
전위	1 statV	1 cm^1/2g^1/2s⁻¹	@@NAMATH_INLINE@@2.998 \times 10^2@@NAMATH_INLINE@@ V
전기장	1 statV cm^-1	1cm^−1/2g^1/2s⁻¹	@@NAMATH_INLINE@@2.998 \times 10^4@@NAMATH_INLINE@@ V m^-1
전기 전도도	1@@NAMATH_INLINE@@\,@@NAMATH_INLINE@@s^-1	1@@NAMATH_INLINE@@\,@@NAMATH_INLINE@@s^-1	@@NAMATH_INLINE@@\frac{1}{2.998^2\times 10^9}@@NAMATH_INLINE@@ Ω^-1 m^-1

측정단위

기본단위로 정의된 전자기 물리량들이 실제로는 측정가능한 물리량의 단위로 표시되는 경우가 많다. 가령 자기장의 세기는 자속을 면적으로 나눈 양과 같다. 따라서 1 T= 1 Wb m@@NAMATH_INLINE@@^{-2}@@NAMATH_INLINE@@이고 1 G= 1Mx cm@@NAMATH_INLINE@@^{-2}@@NAMATH_INLINE@@이 된다. 마찬가지로 전류는 1 A= 1 C s@@NAMATH_INLINE@@^{-1}@@NAMATH_INLINE@@로 표현할 수 있다.

전자기단위