복소수

요약 실수와 허수의 합으로 이루어지는 수.

실수체 R에 허수단위 i(i²＝－1이 되는 수의 하나)를 첨가함으로써 이루어지는 체(體)의 원소이다. 따라서 임의의 복소수는 2개의 실수 a, b를 사용한 a＋bi인 형식으로 표현된다. 복소수 a＋bi에서 b≠0인 경우 a＋bi를 허수라 하고, a＝0이면 순허수라 한다.

또 복소수 α＝a＋bi에 대하여 복소수 a－bi를 의 켤레복소수라고 하며, 이를 로 나타낸다. 실수 을 α의 절대값이라 하고, ｜α｜로 표시한다. 이때 가 성립한다. 및 가 실수일 때 임을 이용하면, 실계수 다항식 f(x)에 대하여 가 성립한다.

복소수체

'임의의 자연수 n에 대하여 복소수를 계수로 하는 n차방정식은 복소수의 범위에서 반드시(적어도 하나의) 근을 가진다'가 성립하는데, 이 사실을 방정식론의 기본 정리라 한다. 이 정리에 따르면 복소수를 계수로 하는 방정식의 근은 반드시 복소수 중에 있으므로, 방정식의 근을 문제로 삼는 한 이 이상 확대시킬 필요가 없다.

복소수평면

실수와 일직선상의 점이 1대 1로 대응하도록 복소수 z＝x＋yi에 직교좌표를 가지는 평면 위의 점 (x,y)을 대응시키면, 복소수와 평면상의 점 사이에는 일대일 대응이 성립한다. 이와 같이 대응된 평면을 복소평면, 또는 가우스평면이라 하며, 이때 x축을 실축, y축을 허축이라고 한다.

복소수 z에 대응하는 점을 P, 원점을 O, 선분 OP의 길이를 r, x축의 양의 방향과 선분 OP가 이루는 각을 θ라 할 때, r＝z가 되고, 또 z＝r(cos θ＋i sin θ)가 성립한다. 이것을 복소수 z의 극형식이라고 한다.

구성

실수의 순서쌍 (a,b)의 전체를 K라 하고, K의 원소 사이의 덧셈, 곱셈을

   (a,b)＋(c,d)＝(a＋c,b＋d),
   (a,b)·(c,d)＝(ac－bd,ad＋bc)

와 같이 정의하면, 이 덧셈과 곱셈하에서 K는 체를 이룬다. K의 덧셈의 단위원은 (0,0)이고, 곱셈의 단위원은 (1,0)이다. 그리고 실수체 R는 K의 일부이고, K는 복소수체가 됨을 알 수 있다.