복소평면

요약 복소수와 평면 위의 점 사이의 일대일 대응으로 이루어진 평면.

직교좌표를 도입한 평면에서 좌표가 (a,b)인 점에 복소수 a＋bi를 대응시킬 때, 복소수와 평면 위의 점 사이에는 일대일 대응이 이루어지는데 이와 같이 복소수와의 대응이 정해진 평면을 말한다. 복소수평면 또는 가우스평면이라고도 한다. 복소수 에 대응하는 점 P를 P() 또는 간단히 로 나타내고 점 라 하며, 복소평면 위에서 실수 x＝x＋0i는 x축 위의 점 (x,0)로 나타나고, 순허수 yi＝0＋yi는 y축 위의 점 (0,y)로 나타나므로 x축을 실수축, y축을 허수축이라 한다. 따라서 점 가 실수이면 실수축 위에, 순허수이면 허수축 위에 있다. 원점을 극, 실수축을 원선(原線)으로 하는 점 의 극좌표를 (r,0)라 하면 이므로



가 되며 r를 절대값, θ를 편각이라 하고 각각 α, arg α또는 amp α로 나타낸다. 복소수 α를 α＝r(cos θ＋i sin θ)의 꼴로 나타냈을 때, 이것을 복소수의 극형식이라 한다. 복소수는 α,β,… 외에 z,z₁,z₂… 등으로도 나타낼 수 있다. 또, 복소수 α,β의 켤레복소수를 라 할 때,



가 성립한다.