변분학

요약 범함수의 극값 문제를 대상으로 하는 수학의 한 분과.

변분학에서 다루는 전형적인 문제는 실수값을 취하는 범함수, 특히 몇 개의 독립변수와 그것을 변수로 한 변함수 등이다.

수학문제뿐 아니라 역학상의 문제와도 연관되며, 함수의 극값문제의 일반화로서 발전한 것이다. 미분학 발생의 한 요인이 된 것은 함수의 극값에 관한 이론의 조직화였다. 미분학에서 취급하는 극값문제는 주로 몇 개의 독립변수의 함수에 관한 것이지만, 변분법에서 취급하는 극값문제에서는 범함수가 고찰의 대상이다. 범함수란 함수의 집합 위에서 정의되고 그 값이 실수 또는 복소수를 취하는 함수를 말한다. 변분법은 특정한 적분값이 최대 또는 최소가 될 수 있는 함수를 찾는 문제를 다룬다.

변분법의 전형적 문제는 주어진 범함수를 최소로 하는 함수를 구하는 형의 극값문제이지만 평면상에 주어진 두 점을 잇는 곡선 가운데 가장 짧은 것을 구하는 문제도 변분법에 속하며, 그 해는 선분이다. 또한 다른 범함수의 값을 일정하게 유지시킨다는 조건하에서 범함수의 극값을 구하는 등주문제도 있다. 등주문제의 예로는 평면상에 주어진 길이의 폐곡선 가운데 최대면적을 둘러싼 것을 구하는 문제를 들 수 있으며, 그 해는 원주이다.

1696년 J.베르누이가 최단강하선 문제를 제안하면서 근대변분법에 대한 관심이 일기 시작하였으며, 이 문제는 J.베르누이를 비롯한 베르누이가 사람들과 I.뉴턴 등이 해결하였다. 변분원리란 여러 과학법칙을 변분법과 관련된 일반원리로 공식화한 것으로, 어떤 주어진 적분이 최대이거나 최소라고 나타냄으로써 표현된다. 1760년 J.L.라그랑주는 역학과 관련시킨 변분문제를 조사하는 일반적 방법을 발견하였다. 변분법은 라그랑주의 업적 가운데 빼놓을 수 없는 것이다. 변분법의 고전이론은 19세기 말 K.T.W.바이어슈트라스가 정리하였으나, 20세기에는 해석학의 여러 분야와 관련되었다.