동형

요약 추상대수학(抽象代數學)의 중요 개념이다. 2개의 대수계 G와 G'에 대하여, 사상(寫像) f: G → G'가 전사(全射)이며 f가 동형사상일 때, G와 G'는 동형이라한다.

2개의 대수계 G와 G'에 대하여, G에는 결합법 。이, G'에는결합법 ●이 정의되어 있다고 할 때, 사상(寫像) f: G → G'가 전사(全射)이며, 임의의 x,y∈G에 대하여 조건 f(x。y)＝f(x)●f(y)가 만족될 때, 사상 f를 준동형사상(準同型寫像)이라 하고, 특히 f가 전단사(全單射)일 때, f를 동형사상(同形寫像)이라고 한다. f가 동형사상일 때, G와 G'는 동형이라 하고 GG'로 나타낸다.

이를테면, 정수(整數) 전체가 이루는 가군(加群)을 Z, 짝수 전체가 이루는 가군을 E라 하면, 함수 f(x)＝2x는 Z에서 E로의 전단사이므로 이 함수는 동형사상이다. 따라서 ZE이다. 동형에 관하여는 다음과 같은 동형정리가 기본이다. ① f를 G에서 G'로의 준동형, N을 그 핵(核)이라 하면,  N은 G의 정규부분군이고, G/NG'. ② H를 G의 부분군, N을 G의 정규부분군이라 하면, H/(H∩N)HN/N. 동형의 개념은 군(群)뿐만 아니라, 임의의 대수계, 이를테면 환(環) ·체(體) ·벡터공간 등에 대해서도 정의할 수 있다.

예를 들면, 2개의 환 r, r'가 동형이라는 것은 r에서 r' 위로의 전단사 f에서, 임의의 x,y∈r에 대하여 f(x＋y)＝f(x)＋f(y), f(x。y)＝f(x)●f(y)와 같은 것이 존재하는 것을 말한다.