정수

요약 음(陰)의 정수(…,－3,－2,－1), 0, 양(陽)의 정수(1,2,3,…)를 합한 것, 즉 자연수 전체에 그 역원과 0을 합한 것이다. 두 정수의 합·차·곱은 정수가 되지만, 한 정수 a를 다른 정수 b(b≠0)로 나눈 몫 a/b는 반드시 정수가 된다고는 할 수 없으며, 일반적으로 분수(유리수)가 된다. a/b가 정수이면, a는 b로 나누어 떨어진다고 한다. 이때 a를 b의 배수, b를 a의 약수라고 한다.

유리정수(有理整數)라고도 한다. 두 정수의 합·차·곱은 정수가 되지만, 한 정수 a를 다른 정수 b(b≠0)로 나눈 몫 a/b는 반드시 정수가 된다고는 할 수 없으며, 일반적으로 분수(유리수)가 된다. a/b가 정수이면, a는 b로 나누어떨어진다고 한다. 이때 a를 b의 배수, b를 a의 약수라고 한다.

정수를 계수로 하는 다음과 같은 대수방정식 xⁿ＋a₁x^n-1＋a₂x^n-2＋…＋a_n＝0 (단, a₁,a₂,…,a_n은 정수, n은 자연수, xⁿ의 계수는 1)의 근인 복소수(複素數)를 대수적 정수(代數的整數)라고 한다. 예를 들면, -1＋√2i는 방정식 x²＋2x+3=0의 근이므로 대수적 정수이지만, 1/√2은 대수적 정수가 아니다. 또 유리정수 a는 x-a=0의 근이므로 대수적 정수이다. 그리고 정수는 ‘덧셈에서는 a＋x=0이 되는 a의 역원 -a가 존재한다’는 조건에 따라 뺄셈을 자유로이 할 수 있으며, 또 정수 중에서 양의 정수(0보다 큰 정수) 전체는 자연수의 공리를 만족하므로 자연수와 일치함을 알 수 있다.

따라서 정수란, 자연수 전체에 그 역원과 0을 합한 것이라고 할 수 있다. 한편, 순서수(順序數)의 정의에 따라 유한순서수는 자연수(0을 포함해서)와 동일시되며, 따라서 자연수 전체의 집합 ω={0,1,2,…}도 순서수이다. 이때 ω는 초한순서수(超限順序數)가 된다. 따라서 정수는 자연수 전체에 그 역원을 합한 것이라고 할 수가 있다.