선형대수학(행렬) 증명문제 인데요,,, 급함니다!!

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선형대수학(행렬) 증명문제 인데요,,, 급함니다!!

작성일 2005.04.19댓글 1건
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두문제 입니다. 시험에 나온다고 한 예상문제 들인데 못풀겠어서요 ㅠ.ㅠ

1. tr(AB)=tr(BA) where A nⅹm and Bmⅹn

 

 

 

PS..여기서 정방행렬로 한다면 위의 식을 증명할 수 있는데 조건에 A,B행렬이 정방행렬이 아닌 mⅹn행렬이라 증명하는데 헷갈려요.

 

 

2. x^T=(x1, x2, x3) and y^T=(y1, y2, y3)라고 가정할 때,

x1y1+x2y2+x3y3≤√ x1^2+x2^2+x3^2 √ y1^2+y2^2+y3^2 를 증명하라.

 

 

여기서 ,  루트x1^2+x2^2+x3^2 전체 곱하기  루트 y1^2+y2^2+y3^3 전체 입니다.



profile_image 익명 작성일 -

1번 문제는 약간 이상하군요.

 

AB는 n x n 정방행렬입니다. 반면 BA는 m x m 정방행렬입니다.

 

Trace 연산으로 n x n 정방행렬과 m x m 정방행렬이 같아질 수는 없겠지요.

 

2번은 Cauchy-Schwarz 부등식입니다.

|(x,y)| ≤ ||x|| ||y||.

 

이 문제는 간단한 경우로, 이에 대해서는 약간의 계산을 통해 알 수 있습니다.

 

부등식의 양변을 제곱합니다.

 

(x1y1+x2y2+x3y3)^2 = (x1^2*y1^2+x2^2*y2^2+x3^2*y3^2) + 2x1x2y1y2 + 2x3x1y3y1 + 2x2x3y2y3.

\

(√ x1^2+x2^2+x3^2 √ y1^2+y2^2+y3^2)^2

= (x1^2*y1^2+x2^2*y2^2+x3^2*y3^2) + (x1^2*y2^2+ x2^2*y1^2)+(x1^2*y3^2+x3^2*y1^2)

+(x2^2*y3^2+x3^2*y2^2)

 

그리고, 산술기하평균에 따른 부등식에 의해,

x1^2*y2^2 + x2^2*y1^2 ≥ 2* sqrt(x1^2*y2^2*x2^2*y1^2) = 2 |x1x2y1y2|

 

이 과정을 적용하여 위 문제를 증명할 수 있습니다.

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