결합확률밀도함수ㅠㅠ

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결합확률밀도함수ㅠㅠ

작성일 2023.04.24댓글 1건
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f_X,Y(x,y) = ke^-x for (x,y) ∈A  , 0 (이외)
그래프가 y=1-x 이고 (0,1)과 (1,0)에 둘러싸인 영역이 A임.
여기서 결합 pdf가 A영역에만 존재한다. 상수 k를 찾고 f_X(x), f_Y(y)를 찾으시오.

0<x<1, 0<y<1로 해서 푸는 게 맞나요?
y=x-1로 해서 dy를 0~x-1까지 적분하고 난 다음에 dx 0~1까지 적분하는 게 맞나요..?
어떤 경우에 그렇게 해야 하는지 모르겠습니다 ㅠㅠ



profile_image 익명 작성일 -

주어진 결합확률밀도함수 f_X,Y(x,y)에서 A 영역에서만 정의되기 때문에, f_X(x)와 f_Y(y)를 구하기 위해서는 A 영역에서 각각 적분해주어야 합니다.

​

먼저, 상수 k를 구하기 위해 결합확률밀도함수의 적분값이 1이 되어야 합니다.

​

∬_A ke^(-x)dxdy = k ∬_A e^(-x)dxdyA 영역에서 e^(-x)를 y=1-x 그래프에 따라 적분하면 다음과 같습니다.

​

∬_A e^(-x)dxdy = ∫_0^1 ∫_0^(1-x) e^(-x)dy dx = ∫_0^1 e^(-x)(1-x)dx = [(-x-1)e^(-x)]_0^1 = -e^(-1) + 1

​

따라서, k = 1/(-e^(-1)+1) 입니다

​

.그 다음, f_X(x)와 f_Y(y)를 구하기 위해서는 각각 적분해주어야 합니다

​

.f_X(x) = ∫_0^(1-x) ke^(-x) dy = k(1-x)e^(-x)f_Y(y) = ∫_0^(1-y) ke^(-x) dx = k(e^(-y)-e^(-1))

​

따라서, 주어진 조건에서 X와 Y의 주변확률밀도함수는 각각 다음과 같습니다.f_X(x) = (1-e^(-1)) * (1-x) * e^(-x)f_Y(y) = (1-e^(-1)) * (e^(-y)-e^(-1))

​

따라서, A 영역에서만 정의되는 결합확률밀도함수 f_X,Y(x,y)는 다음과 같습니다

​

.f_X,Y(x,y) = (1-e^(-1)) * e^(-x) (0<x<1, 0<y<1, y<1-x)

0(otherwise)

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