결합확률밀도함수 계산

간단한 예제부터 생각해보세요. [0, 1] 위의 균등분포의 PDF는

[0, 1] 위에서만 0 이 아닌 값을 갖지만, 그 CDF인

는 PDF를 적분해나가기 때문에 그 구간 밖에서도 0이 아닌 값을 가질 수 있습니다. 사진에서 형광펜으로 칠한 부분 역시 같은 이유에 의해 joint PDF 의 support 밖에서도 0 이 아닌 값을 가질 수 있게 되는 것입니다.

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자 이제 실제로 주어진 문제의 joint CDF 를 구하는 과정을 생각해봅시다. 이는 사실 미적분학 연습문제와 크게 다르지 않지만, 많은 학생들이 자주 실수하기도 하고 또 그때문에 질문자 분께서 가장 주의해야 할 부분은 f 가 조각적으로(piecewise) 정의되어 있다는 점입니다. 따라서 적분 역시 범위에 따라 그 형태가 조각적으로 주어저야 합니다.

그림 1. f 의 support

그렇다면 이러한 조각적인 함수를 적분하는 특별한 방법이 있을까요? 쉽게 만드는 방법은 생각하기 힘들지만, '편하게' 다루게 해주는 방법은 존재합니다. 소위 지시함수(indicator function) 트릭이라는 것이 그것입니다. 여기서 지시함수란

혹은 더 일반적으로

와 같이 정의된 함수를 의미합니다. 지시함수를 이용하면 '조건'을 포함하는 함수를 간단하게 식으로 표현할 수 있으며, 조건 사이의 논리적 연산을 지시함수 사이의 연산으로 바꿀 수 있습니다. 예컨대 지시함수를 이용하면 질문의 PDF 는

와 같이 간편하게 적을 수 있고, 이 CDF 를 계산하는 적분 또한 지시함수를 이용해

와 같이 바꿔적을 수 있습니다. 즉 적분구간 및 함수가 정의된 영역 자체를 몽땅 함수쪽으로 돌린 것입니다. 이제 남은 것은 위 피적분 함수가 각각의 x, y 에 대해 어떻게 생겼느냐만 판단하면 되는데, 피적분함수를 계산해보면

이며, 위 함수가 0이 되지 않으려면 다음 세 조건

가 동시에 성립해야 합니다. 쉽게 말하면 (t_1, t_2) 가 함수의 support 에도 들어가야 하고 적분 영역에도 들어가야 한다는 것입니다. 따라서 각각의 (x, y) 마다 그러한 영역을 찾으면 됩니다. 사진에서는 이를 다음과 같이 다섯가지 경우로 나누어 다룬 것입니다.

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경우 1. x ≤ 0 또는 y ≤ 0 이면 위 세 부등식을 동시에 만족시키는 (t1, t2) 가 존재하지 않음을 알 수 있습니다.

위의 사진에서 파란 영역은 f 의 support 이고 오렌지색 영역은 적분영역에 해당합니다. 따라서 이 경우 F(x, y) = 0 이 됩니다.

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경우 2. 0 < x < y < 1 이면 점 (x, y) 가 f 의 support 에 포함되고, 따라서 두 영역의 교집합이 다음과 같이 나타납니다.

이 경우 공통영역의 0 < t1 < x 이고 t1 < t2 < y 이므로,

와 같이 나타납니다.

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경우 3. 이제 0 < y < x 이고 또한 0 < y < 1 인 경우를 살펴봅시다.

이 경우 적분 영역은 0 < t_2 < y 이고 0 < t1 < t2 와 같이 주어집니다. 따라서

사실 이 경우가 바로 사진에서 형광펜으로 칠한 부분이 됩니다.

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이제 사진에서 고려된 나머지 두 경우 역시 마찬가지로 풀어보시면 원하는 답을 얻으실 수 있습니다.