함수의 미분계수 질문

롤의 정리를 쓰든, 평균값의 정리를 쓰든

큰 틀은

x=0 기준으로 작은 쪽에 a, 큰 쪽에 b를 두고

f(a)=f(b)가 항상 만족하게끔 적절히 조정하여

a를 0에 최대한 붙이고 b를 0에 최대한 붙여서

둘 사이를 0에 무한히 가깝게 만들면

(f(b)-f(a))/(b-a) = f'(0) 이 된다

이런 식일 것 같습니다.

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롤의 정리가

f(a) = f(b), a<b 이면

(a,b) 구간에 f'(c)=0 을 만족하는 c가 적어도 하나 존재한다는 정리이므로

롤의 정리를 이용해서 f'(0) = 0 을 보이려면

(a,b) 구간에 있는 수가 0만 있게끔 a, b 사이를 좁혀야 됩니다. (a<=0<=b 이런 식)

이 구간에 0이 아닌 다른 수가 있다면

롤의 정리가 f'(c)=0 을 만족하는 c가 존재함을 보여주어도

그 c에 0이 속하는지 알 수 없습니다.

c는 (a,b)사이에 존재하는 무수히 많은 수 중 무엇인지는 모르는 어떤 수일 뿐입니다.

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하지만 이건 좁혀서 될 문제가 아닙니다.

양 끝점을 포함하지 않는 개구간이므로

(a, b) 를 아무리 작게 잡더라도 a=b가 되는 게 아닌 이상

이 구간에 0이 존재하는 순간, 0이 아닌 다른 수들이 무한히 많이 존재합니다. (ex a/2, a/3, a/4, 3a/5, ~~)

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따라서 롤의 정리, 평균값의 정리로는 증명이 어렵습니다.

존재성만을 입증하는 정리로는 그것이 어떤 특정한 수임을 보일 수 없기 때문입니다.

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만약에 롤의 정리가

(a,b) 중에 c가 있다

가 아니라

[a, b] 중에 c가 있다

였으면 가능했을 것입니다.

그런데 그렇다고 하더라도

이 증명방법에는 롤의 정리가 필요하지 않습니다(?)

[a,b]로 변형된 롤의 정리가 만약 성립했다면, 그건 아래 증명의 가장 마지막 극한값을 구하는 데에 쓰였을 것입니다.

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중간값 정리와 단조수렴정리 사용하면 됩니다.

증명은 아래와 같습니다.

다만 이렇게 증명을 해도

미분계수의 정의와 극한의 대소관계를 쓰는 것과 별반 차이가 없습니다.