중복순열 비밀번호 경우의 수 문제 풀어주세요
익명 작성일 - 안녕하세요 목동수학학원 길벗아카데미 수학과 서통영T 입니다.
주어진 질문을 고등학교 3학년 2등급 학생을 대상으로 설명하겠습니다.
부연설명을 드리겠습니다.
보시는 대로 비밀번호 중에서 숫자의 개수를 p, 알파벳의 개수를 q, 특수기호의 개수를 r (p, q, r은 1 이상의 자연수)
이라고 하면 p + q + r = 6 이므로
p' + q' + r' = 3 (p', q', r' 은 0 이상의 정수)가 되어
마지막 주황색 부분에서처럼 각각의 개수를 정하는 방법의 수는
3H3 = 5C2 = 10가지 입니다.
위의 10가지 각 경우에 대하여 문자종류별로 자리배치를 하는 방법의 수는 (p + q + r)! / (p! q! r!)
즉, 6! / (p! q! r!) 입니다.
각각의 문자들(숫자, 알파벳, 특수기호)을 위에서 정한 자리에 입력하는 것은 중복순열이므로
각 경우에 대하여 10^p × 26^q × 3^r 가지 경우의 수가 나옵니다.
따라서 각 경우별로 모두 구해서 더해주면 원하는 가짓수를 구할 수 있습니다.
제 판단에 경우의 수가 너무 크게 나오고 10가지 경우를 다 구해서 더해야 하기 때문에 시험문제라기 보다는
비밀번호와 관련된 주제로 수행평가를 진행하는 것 같습니다.
만약 그렇다면 숫자도 1~5, 알파벳도 a~e, 특수기호도 5개로 한정지어서 경우의 수를 구해보고
세 종류의 문자를 모두 섞어 쓸때와 아닐때의 차이점에 대해 설명해보는 것도 좋을 것 같습니다.
또한 각 종류의 문자의 개수가 늘어나고 비밀번호 자릿수가 늘어날 수록 경우의수가 어떻게 증가하는지에 대한 연구도 추가하셔도 괜찮을거라 생각합니다.
질문한 문제 자체가 시험용 문제가 아니긴 하지만 비밀번호의 개수에 관한 문제는 종종 나오는 유형입니다. 비밀번호에 대한 조건에 맞춰 경우의 수를 구하는 문제는 조건만 잘 따져보면 크게 어렵지 않게 풀 수 있는 문제입니다.
이 문제 유형에 대한 출제율은 3.0/5, 난이도는 1.8/5 입니다.
(출제율은 이 문제의 유형이 내신이나 모의고사에서 나오는 비율을 나타내고 수치가 높을 수록 자주 출제되는 유형입니다. 난이도는 처음에 설정한 2등급 정도의 학생들에게 느껴지는 체감난이도를 나타냅니다. 이 또한 수치가 높을수록 어려운 문제입니다.)
풀이에 다른 질문이 있으면 추가질문 해주세요.
도움이 되셨길 바랍니다.
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