주양자수

주양자수(principal quantum number, 기호 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@)는 각운동량 양자수(angular momentum quantum number)¹⁾ @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@, 자기 양자수(magnetic quantum number) @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@과 함께 원자의 전자 상태를 1-전자 오비탈 근사(one electron orbital approximation)로 나타낼 때 사용하는 양자수이다. 그리고 전자의 스핀 상태를 나타내는 스핀 양자수(spin quantum number) @@NAMATH_INLINE@@m_s@@NAMATH_INLINE@@도 있다.²⁾

원자 오비탈의 주양자수 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@은 양의 정숫값을 가진다. 즉, @@NAMATH_INLINE@@n=1, 2, 3, 4, \ldots@@NAMATH_INLINE@@이다. 양자수 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@에 대하여 각운동량 양자수 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@은 0부터 @@NAMATH_INLINE@@n-1@@NAMATH_INLINE@@까지 값을 가질 수 있고, 자기 양자수 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@은 @@NAMATH_INLINE@@-\ell@@NAMATH_INLINE@@에서 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@까지 정숫값을 가질 수 있다.

주양자수는 전자의 오비탈 에너지를 결정한다. 주양자수가 커질수록 전자의 오비탈 에너지가 더 커진다. 다전자 원자에서 같은 주양자수를 가진 오비탈들은 하나의 전자 껍질(electron shell)을 형성한다. 주양자수 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@의 값에 따라 각 껍질은 표 1에 나와 있는 것처럼 알파벳 기호를 사용해서 부르기도 한다.

또한 주양자수는 원자 오비탈의 유효 부피(크기)를 결정하는데, @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@이 증가할수록 평균적으로 전자는 핵으로부터 더 멀리 떨어져서 분포한다. 그림 1에 나와 있는 것처럼 주양자수 @@NAMATH_INLINE@@n=1,2,3@@NAMATH_INLINE@@으로 증가할 때, @@NAMATH_INLINE@@s@@NAMATH_INLINE@@ 오비탈의 확률 밀도가 핵으로부터 더 멀리까지 분포하는, 즉 원자 오비탈이 커진다.

그림 1. 주양자수 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@에 따른 @@NAMATH_INLINE@@s@@NAMATH_INLINE@@ 오비탈 (@@NAMATH_INLINE@@\left\vert \psi_{n\ell m} \right\vert^2@@NAMATH_INLINE@@) 크기의 변화. 그림에서 붉은색과 푸른색은 오비탈 함수의 부호가 다른 영역을 나타낸다. (출처: 대한화학회)

목차

주양자수의 기원은 수소 원자의 보어 모델에서 찾을 수 있는데 이 식에서 전자는 다음과 같이 정수 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@에 따라 구분되는 불연속적인 에너지를 가진다.

여기서 정수 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@은 전자의 서로 다른 에너지 준위와 궤도를 구분한다. @@NAMATH_INLINE@@Z@@NAMATH_INLINE@@는 원자핵에 있는 양성자 수이며, @@NAMATH_INLINE@@R_H@@NAMATH_INLINE@@는 리드베리 상수이다. 현대 양자역학에서 보어 모델은 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)에 기반을 둔 1-전자 원자 오비탈 이론으로 대체되었지만, 정수 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@은 여전히 주양자수로 사용되고 있다.

원자에서 단일 전자의 상태는 @@NAMATH_INLINE@@n, \ell, m, m_s@@NAMATH_INLINE@@의 양자수 4개로 표현된다. 주양자수 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@은 슈뢰딩거 방정식의 방사 방향 방정식³⁾의 해를 얻는 과정에서 정의된다. 슈뢰딩거 방정식의 해로 얻어지는 전자의 파동함수 @@NAMATH_INLINE@@\psi_{n\ell m}@@NAMATH_INLINE@@를 1-전자 오비탈(one-electron orbital)이라고 부른다. 전자의 스핀 상태를 나타내는 스핀 양자수 @@NAMATH_INLINE@@m_s@@NAMATH_INLINE@@에는 파울리 배타 원리(Pauli exclusion principle)가 적용된다.

1. 각운동량 양자수는 '방위 양자수(azimuthal quantum number)'라고도 불린다. 그러나 오래된 이름인 방위 양자수보다는 그 의미가 정확한 '각운동량 양자수'가 권장된다.
2. 전자에는 또 하나의 스핀 양자수 @@NAMATH_INLINE@@s@@NAMATH_INLINE@@가 있지만, 모든 전자의 스핀 양자수 @@NAMATH_INLINE@@s= \frac{1}{2}@@NAMATH_INLINE@@이므로 별도로 다루지 않는다.
3. 슈뢰딩거 방정식에서 전자가 위치한 방향에 상관없이 원자핵으로부터의 거리에만 의존하는 파동 함수의 부분을 말한다.