각운동량 양자수

각운동량 양자수(angular momentum quantum number, 기호 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@)는 원자에서 전자의 상태를 나타내기 위해서 필요한 4개의 양자수 (@@NAMATH_INLINE@@n, \ell, m, m_s@@NAMATH_INLINE@@) 중 하나이다. 방위 양자수(azimuthal quantum number)라고 부르기도 하는데,¹⁾ 원자를 구성하는 전자의 상태는 일반적으로 @@NAMATH_INLINE@@n,\ell, m@@NAMATH_INLINE@@의 3개 양자수로 정의되는 1-전자 원자 오비탈을 이용해서 나타낸다.

각운동량 양자수는 0부터 시작하는 정숫값을 가지는데, 주양자수(principal quantum number) @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@에 따라서 @@NAMATH_INLINE@@\ell =0, 1, 2, \ldots, n-1@@NAMATH_INLINE@@의 값을 갖는다. 주어진 양자수 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@에 대하여 자기 양자수(magnetic quantum number)는 @@NAMATH_INLINE@@m= -\ell, -\ell+1, \ldots, \ell-1, \ell@@NAMATH_INLINE@@까지 모두 @@NAMATH_INLINE@@2\ell+1@@NAMATH_INLINE@@ 개의 서로 다른 값을 가질 수 있다.

각운동량 양자수는 정숫값을 사용하는 대신 표 1과 같이 알파벳 기호를 사용하여 표기하기도 한다.

각운동량 양자수는 자기 양자수와 함께 전자의 오비탈 각운동량(orbital angular momentum), @@NAMATH_INLINE@@\vec{L}@@NAMATH_INLINE@@(벡터양)을 나타낸다. 특히 각운동량 양자수는 오비탈 각운동량의 크기 @@NAMATH_INLINE@@L = \left \vert \vec{L} \right \vert@@NAMATH_INLINE@@를 결정한다.

다전자 원자에서 같은 주양자수 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@오비탈은 전자 껍질(shell)을 형성하는데, 주어진 전자 껍질 안에서 각운동량 양자수 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@이 같은 오비탈들은 전자 부껍질(subshell)을 형성한다. 전자 부껍질의 명칭은 표 1의 영문 오비탈 기호를 그대로 사용하여 @@NAMATH_INLINE@@s,p,d,f,\ldots@@NAMATH_INLINE@@부껍질이라 한다. 전자가 하나인 수소 원자의 경우, 오비탈 에너지는 오직 주양자수(껍질)에 의해서 결정되지만, 다전자 원자에서 오비탈 에너지는 각운동량 양자수(부껍질)에 따라서도 달라진다.

또한 각운동량 양자수는 오비탈의 모양을 결정한다. 예를 들어, @@NAMATH_INLINE@@s@@NAMATH_INLINE@@ 오비탈(@@NAMATH_INLINE@@\ell=0@@NAMATH_INLINE@@)은 공 모양이고, @@NAMATH_INLINE@@p@@NAMATH_INLINE@@ 오비탈(@@NAMATH_INLINE@@\ell=1@@NAMATH_INLINE@@)은 아령 모양이다(그림1).

그림 1. 각운동량 양자수 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@에 따른 오비탈 모양의 변화. 위로부터 @@NAMATH_INLINE@@s (\ell=0), p (\ell=1), d (\ell=2), f (\ell=3)@@NAMATH_INLINE@@ 오비탈. ()

목차

각운동량 양자수는 자기 양자수와 함께 원자에서 전자의 오비탈 각운동량을 결정한다. 오비탈 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@\vec{L}@@NAMATH_INLINE@@은 벡터양이므로 3개의 성분 @@NAMATH_INLINE@@L_x, L_y, L_z@@NAMATH_INLINE@@가 있고, 각운동량 벡터의 크기, @@NAMATH_INLINE@@L = \left \vert \vec{L} \right \vert@@NAMATH_INLINE@@은 @@NAMATH_INLINE@@L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 @@NAMATH_INLINE@@로 주어진다. 불확정성 원리(uncertainty principle)에 의하여 각운동량의 크기와 세 성분을 동시에 정확히 결정하는 것은 불가능하다. 단지 각운동량의 크기와 세 성분 중 하나²⁾만 정확히 정할 수 있다.

각운동량 양자수 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@는 각운동량의 크기 @@NAMATH_INLINE@@L = \left \vert \vec{L} \right \vert@@NAMATH_INLINE@@를 결정하는데, 슈뢰딩거 방정식의 고유값은 다음과 같이 주어진다.

그림 2. 오비탈 각운동량 벡터, @@NAMATH_INLINE@@\vec{L}@@NAMATH_INLINE@@의 크기와 z-성분. (출처: 대한화학회)

각운동량의 크기 @@NAMATH_INLINE@@L@@NAMATH_INLINE@@은 각운동량 양자수 @@NAMATH_INLINE@@\ell@@NAMATH_INLINE@@에 의하여 결정되는 특정한 값만 가질 수 있다. 즉, 각운동량의 크기는 고전역학에서와 달리 연속적이지 않고 양자화되어 있다. @@NAMATH_INLINE@@L_x, L_y@@NAMATH_INLINE@@ 값을 결정할 수 없기 때문에 각운동량 벡터가 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축을 중심으로 세차 운동을 하는 것으로 나타내기도 한다.

1. 의미가 정확한 '각운동량 양자수'를 권장한다.
2. 관례적으로 세 성분 중 z-성분, @@NAMATH_INLINE@@L_z@@NAMATH_INLINE@@를 선택한다.