리드베리 상수

[ Rydberg constant ]

리드베리 상수(Rydberg constant, 기호 @@NAMATH_INLINE@@R_\infty@@NAMATH_INLINE@@)는 원자 방출 스펙트럼 선의 파장(또는 파수)을 설명하기 위해서 스웨덴의 물리학자 리드베리(Johannes Rydberg)가 제시했던 리드베리 공식(Rydberg formula)에 사용되었다.

@@NAMATH_INLINE@@\tilde{\nu}={1 \over \lambda} = R \Bigl({ 1\over n_1^2}-{1 \over n_2^2} \Bigr)@@NAMATH_INLINE@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\tilde{\nu}@@NAMATH_INLINE@@는 스펙트럼선의 파수(wavenumber), @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@은 리드베리 상수, @@NAMATH_INLINE@@n_1@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@n_2@@NAMATH_INLINE@@는 서로 다른 정수 (단, @@NAMATH_INLINE@@n_2 > n_1 @@NAMATH_INLINE@@)이다. 리드베리 상수의 값은 원자에 따라 다르며 특히 수소 원자의 경우 @@NAMATH_INLINE@@R_H@@NAMATH_INLINE@@로 그리고 원자핵의 질량이 무한히 큰 가상적인 원자의 리드베리 상수는 @@NAMATH_INLINE@@R_\infty@@NAMATH_INLINE@@로 표시한다.¹⁾

수소 원자 스펙트럼의 모든 계열은 수소 원자의 리드베리 상수를 사용하는 리드베리 공식으로 구할 수 있다. 그러나 리드베리는 자신의 공식에 대한 물리적인 근거를 제시하지는 못하였다. 그 후 보어는 그의 원자 모델에 근거한 수소 원자 스펙트럼의 설명에서 리드베리 공식의 물리적 의미를 설명하였고, 리드베리 상수를 다른 물리 상수들로부터 계산할 수 있었다.

리드베리 상수는 바닥 상태의 원자를 이온화시키는 데 필요한 에너지에 해당하며 이는 수소 원자에 대한 양자역학적 풀이에서도 확인된다. 리드베리 상수는 전자스핀 g-인자와 함께 가장 정확하게 측정할 수 있는 물리 상수이고, @@NAMATH_INLINE@@R_\infty = 10 \ 973 \ 731.568 \ 160(21) \ m^{-1} @@NAMATH_INLINE@@이다.²⁾

그림 1. 스웨덴 룬드 대학교 물리학과 교수 요하네스 리드베리 (1854-1919). ()

1880년 스웨덴의 물리학자 리드베리는 알칼리 금속의 방출 스펙트럼에서 관찰되는 스펙트럼선의 파장에 대한 관계식을 찾고 있었다. 1885년 스위스의 수학자 발머(Johann Balmer)는 가시광선 영역에서 관찰되는 수소 원자의 스펙트럼선을 예측할 수 있는 공식을 발견하였다. 1888년 리드베리는 발머 공식을 일반화하여 수소를 포함한 원자의 스펙트럼에서 나타나는 여러 계열의 모든 선의 파장을 설명해주는 리드베리 공식을 얻었다.

리드베리 공식의 물리적 근거에 대한 의문은 1913년 보어가 양자 가설을 이용한 수소 원자 모델로 설명하여 해결되었다. 보어는 수소 원자 스펙트럼에서 관찰되는 스펙트럼 선은 양자화된 두 에너지 준위 사이의 전이에 기인하고, 이때 방출(또는 흡수)되는 광자의 에너지는 두 에너지 준위 사이의 차이 @@NAMATH_INLINE@@\Delta E@@NAMATH_INLINE@@와 같다고 가정하였다. 이러한 가정으로부터 수소 원자(@@NAMATH_INLINE@@Z=1@@NAMATH_INLINE@@)에서 관찰되는 스펙트럼선의 파수는 다음 식으로 주어진다.

@@NAMATH_INLINE@@\tilde{\nu}={ {\Delta E} \over{hc} }={ {m_e e^4} \over{2 (4 \pi \epsilon_0)^2 \hbar^2 hc }} \Bigl({ 1\over n_1^2}-{1 \over n_2^2} \Bigr)@@NAMATH_INLINE@@

위의 식을 리드베리 공식과 비교하면 앞부분이 리드베리 상수에 해당하고, 정수 @@NAMATH_INLINE@@n_1@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@n_2@@NAMATH_INLINE@@는 서로 다른 에너지를 가진 전자 궤도를 나타내는 양자수이다. 앞의 상수 부분을 정리하면, 리드베리 상수는 다음과 같이 정의된다.

@@NAMATH_INLINE@@R_\infty={ {m_e e^4} \over{8 \epsilon_0^2 h^3 c} } @@NAMATH_INLINE@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@m_e @@NAMATH_INLINE@@는 전자의 질량, @@NAMATH_INLINE@@e @@NAMATH_INLINE@@는 기본 전하, @@NAMATH_INLINE@@\epsilon_0 @@NAMATH_INLINE@@는 진공 유전율(vacuum permittivity), @@NAMATH_INLINE@@h @@NAMATH_INLINE@@는 플랑크 상수(Planck constant), @@NAMATH_INLINE@@c @@NAMATH_INLINE@@는 진공에서 빛의 속도이다.

수소 원자의 리드베리 상수

보어 원자 모델에서 원자의 핵은 정지해 있고 전자는 핵을 중심으로 궤도 운동을 하는 것으로 가정하였다. 이것은 원자핵은 무한히 무거운 질량을 가진 것으로 가정하는 것과 같기에, 따라서 위의 리드베리 상수 식에는 단지 전자의 질량 @@NAMATH_INLINE@@m_e@@NAMATH_INLINE@@만 나타난다.

그러나 실제 수소 원자에서 원자핵은 무한히 무겁지 않고, 따라서 전자의 질량 대신 수소 원자의 환산 질량(reduced mass) @@NAMATH_INLINE@@\mu@@NAMATH_INLINE@@을 고려해야 한다. 수소 원자에서 원자핵은 양성자 하나로 이루어져 있음으로 환산 질량은 @@NAMATH_INLINE@@\mu={ {m_p m_e} \over{m_p + m_e} }@@NAMATH_INLINE@@이고, 여기서 @@NAMATH_INLINE@@m_p@@NAMATH_INLINE@@는 양성자의 질량이다(환산 질량은 @@NAMATH_INLINE@@{1 \over \mu}={1 \over m_e}+{1 \over m_p}@@NAMATH_INLINE@@으로 정의한다.).

이처럼 수소 원자의 환산 질량을 고려한 리드베리 상수를 수소 원자의 리드베리 상수 @@NAMATH_INLINE@@R_H@@NAMATH_INLINE@@라고 한다.

@@NAMATH_INLINE@@R_H={ {\mu e^4} \over{8 \epsilon_0^2 h^3 c} } @@NAMATH_INLINE@@

따라서 @@NAMATH_INLINE@@R_H @@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@R_\infty @@NAMATH_INLINE@@사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@R_H = R_\infty{\mu \over m_e} = R_\infty{m_p \over{m_p + m_e}} \thickapprox 1.09677583 \times 10^7 m^{-1} @@NAMATH_DISPLAY@@

수소형 원자의 리드베리 상수

리드베리 공식을 수소형 원자(hydrogen-like atom)³⁾로 확장하면 스펙트럼 선의 파수, @@NAMATH_INLINE@@\tilde{\nu}@@NAMATH_INLINE@@는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

@@NAMATH_INLINE@@\tilde{\nu}={1 \over \lambda} = R Z^2 \Bigl({ 1\over n_1^2}-{1 \over n_2^2} \Bigr)@@NAMATH_INLINE@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@Z@@NAMATH_INLINE@@는 원자 번호, @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@은 해당 원자의 리드베리 상수이다. 이 식에 사용하는 리드베리 상수 @@NAMATH_INLINE@@R = R_\infty{ M \over{M + m_e} }@@NAMATH_INLINE@@(@@NAMATH_INLINE@@M@@NAMATH_INLINE@@은 원자핵의 질량)이다.

참고 자료

1. 리드베리 상수 기호의 아래 첨자 @@NAMATH_INLINE@@\infty@@NAMATH_INLINE@@는 무한히 무거운 질량을 가정한 것을 나타낸다.
2. 2018 CODATA 값. 매 4년마다 과학 기술 데이터 위원회(Committee on Data for Science and Technology, CODATA)는 기본 물리 상수들에 대한 권장값을 공표한다.
3. 수소형 원자는 하나의 전자를 가진 원자(또는 이온)을 말한다. 즉 수소형 원자는 @@NAMATH_INLINE@@+Ze@@NAMATH_INLINE@@의 양전하를 가진 원자핵과 하나의 전자로 이루어진 양이온이다.

동의어

리드버그 상수, 리드베리 상수

리드베리 상수