볼츠만 상수

볼츠만 상수(@@NAMATH_INLINE@@k @@NAMATH_INLINE@@ 또는 @@NAMATH_INLINE@@k_B@@NAMATH_INLINE@@로 표시)는 기체의 평균 운동 에너지와 온도를 연결해주는 열역학의 기본 상수로, 기체 상수(@@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@)를 아보가드로 수(@@NAMATH_INLINE@@N_A @@NAMATH_INLINE@@)로 나눈 값이다.

@@NAMATH_INLINE@@k=R/N_A@@NAMATH_INLINE@@

2018년 제26차 국제도량형 총회(CGPM)에서 온도의 기본 단위인 켈빈(K)을 정의할 때 사용된 볼츠만 상수는 1.380 649 × 10^-27 J/K이다. 8.617 333 × 10^-5 eV/K로 표시하기도 한다.

볼츠만 상수는 다음과 같이 열역학적 개념인 엔트로피(@@NAMATH_INLINE@@S @@NAMATH_INLINE@@)와 계의 미시적인 상태의 수 @@NAMATH_INLINE@@W@@NAMATH_INLINE@@(열역학적 확률)를 연결하는 상수이기도 하다.

@@NAMATH_INLINE@@S = k \ \ log \ W@@NAMATH_INLINE@@

볼츠만 상수는 열역학적 거시 변수와 분자 수준의 미시 변수를 연결해주는 역할을 한다.

목차

1865년 클라우지우스(Rudolf Julius Emanuel Clausius, 1882~1888)가 고립계에서 항상 증가하며 그리고 일로 전환할 수 있는 열에너지와 연관된 엔트로피 개념을 도입하였다. 1877년 볼츠만(Ludwig Eduarf Boltzmann, 1884~1906)은 이러한 엔트로피를 물질의 미시적 수준에서 도달 가능한 열역학적 상태에 대한 경우의 수로 해석하고, 엔트로피를 미시 상태의 수와 관계된 열역학적 양으로 제안하였다. 즉, 엔트로피가 증가하였다는 것은 계를 구성하는 원자나 분자가 도달할 수 있는 상태의 수가 늘어났다는 것을 의미한다. ¹⁾

볼츠만의 묘비()

플랑크(Max Karl Ernst Ludwig Planck)는 1901년 논문²⁾에서 정상 스펙트럼에 대한 에너지 분포 이론에서 흑체 복사의 에너지가 플랑크 상수와 진동수의 곱의 정수배가 되어야 한다는 흑체 복사 이론을 유도할 때 볼츠만이 제시한 엔트로피 개념을 이용하였다. 플랑크는 에너지 분포와 관련한 엔트로피 개념을 다루면서, 계의 개별 입자가 갖는 에너지를 계의 온도와 연관 지어 주는 볼츠만 상수를 도입하였다.

이 과정에서 정의된 상수는 초기에는 플랑크의 제2 상수, 보편상수, 볼츠만의 엔트로피 상수라고 부르기도 하였는데, 1910년대 후반에는 @@NAMATH_INLINE@@k@@NAMATH_INLINE@@ 또는 @@NAMATH_INLINE@@k_B @@NAMATH_INLINE@@라는 표기가 정착되어 볼츠만 상수라고 부르게 되었다.

기체 분자 운동론에서 단원자 기체 분자 1개의 운동 에너지는 절대 온도 T에 비례하며. 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

@@NAMATH_INLINE@@1/2\ mv^2 \ =\ 3/2\ kT@@NAMATH_INLINE@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@은 기체 분자 1개의 질량, @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@는 속도를 나타낸다.

또한 기체 분자 운동론에서는 이상 기체의 압력(@@NAMATH_INLINE@@P@@NAMATH_INLINE@@)에 관한 식으로부터 이상 기체 상태 방정식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

@@NAMATH_INLINE@@P = \frac{{1}}{3}\cdot\frac{{8N_Am}}{V }v^2@@NAMATH_INLINE@@

@@NAMATH_INLINE@@\frac{{3PV}}2 = N_A\frac{{mv^2}}{2}@@NAMATH_INLINE@@

@@NAMATH_INLINE@@PV = N_A kT = RT@@NAMATH_INLINE@@

1. 사이죠 토시미, 물리상수는 어떻게 생겨났을까? 아카데미 서적(2008)
2. Planck, M.(1901).'Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum'.Annalen der Physik.4(3): 553–563.