기체 분자 운동론

기체 상태 분자들의 운동과 이 운동으로 인한 여러 가지 물리적인 효과들을 총체적으로 다루는 학문

목차

기체 분자 운동론을 통해 기체 상태의 분자들의 운동과 그로 인해 나타나는 기체의 다양한 성질을 이해할 수 있다. 즉, 기체 분자가 가진 역학적 정보를 이용하여 기체의 온도와 압력 등 거시적인 성질을 이해할 수 있다. 기체의 성질은 개별 기체 분자의 성질이 아닌 평균 값을 통해서 표현된다.

기체는 종류와 무관하게 분자 간 상호작용 없이 무질서하게 운동한다고 가정한다. 기체의 운동 에너지는 온도에 의존하며, 열운동을 기초한 여러 성질이 관찰된다. 기체 분자 운동론을 유도 또는 전개하기 위해서는 아래와 같은 가정들이 필요하다.

① 기체 분자의 크기는 분자의 이동 거리에 비해 대단히 작기 때문에 분자 자체의 부피는 무시할 수 있다.

② 기체 분자들은 속도 분포를 가지며, 무작위적이고 빠른 직선 운동을 한다.

③ 기체 분자들은 상호작용하지 않는다.

④ 기체의 압력은 기체 분자들의 충돌 결과이며, 충돌 시 완전 탄성 충돌을 하기 때문에, 충돌로 인한 에너지 손실이 없다. 벽면과의 충돌은 끊임없이 지속적으로 일어난다.

아래 그림에서와 같이 용기 안에서 기체가 속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 움직일 때 기체 분자는 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@축 속도 성분 @@NAMATH_INLINE@@v_x@@NAMATH_INLINE@@를 갖는다. 이 속도로 움직이는 기체가 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@축 방향으로 @@NAMATH_INLINE@@\Delta t@@NAMATH_INLINE@@ 동안 날아가 면적 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@인 벽에 부딪힐 때 기체 분자는 @@NAMATH_INLINE@@v_x \Delta t@@NAMATH_INLINE@@ 만큼 이동한다. 용기 오른쪽 박스의 부피 @@NAMATH_INLINE@@A \times v_x \Delta t@@NAMATH_INLINE@@ 안에 존재하는 모든 기체는 면적이 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@인 벽과 부딪힌다. 만일 용기의 오른쪽 부분의 박스 안에 있는 모든 기체 분자의 수를 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@ 몰이라고 하면, 기체 분자의 수밀도(number density)는 @@NAMATH_INLINE@@nN_A V@@NAMATH_INLINE@@ 이다 (@@NAMATH_INLINE@@N_A@@NAMATH_INLINE@@는 아보가드로 수). 따라서 벽과 충돌하는 분자들을 담고 있는 공간 안의 기체 분자의 총 수는 (@@NAMATH_INLINE@@nN_A /V) \times Av_x \Delta t@@NAMATH_INLINE@@이다.

기체분자의 벽면과의 충돌

이때 박스 안의 기체 분자 중 절반만 @@NAMATH_INLINE@@+x@@NAMATH_INLINE@@ 방향으로 움직인다고 생각하면, 시간 @@NAMATH_INLINE@@\Delta t@@NAMATH_INLINE@@ 동안 벽과 충돌하는 기체 분자의 수는 ½@@NAMATH_INLINE@@nN_A Av_x \Delta t/V@@NAMATH_INLINE@@이다. 각각의 기체 분자는 벽면과 부딪혀 @@NAMATH_INLINE@@-x@@NAMATH_INLINE@@축 방향으로 움직이는 방향을 바꾸므로, 각 기체 분자가 겪는 운동량의 변화는 @@NAMATH_INLINE@@2mv_x@@NAMATH_INLINE@@이다.

그러므로 총운동량 변화(@@NAMATH_INLINE@@\Delta P@@NAMATH_INLINE@@)는 다음과 같다.

@@NAMATH_INLINE@@\Delta P =@@NAMATH_INLINE@@(½@@NAMATH_INLINE@@nN_A Av_x \Delta t/V) \times (2mv_x ) = (nmAN_A v_x^2 \Delta t)/V = (nMAv_x^2 \Delta t)/V@@NAMATH_INLINE@@

총운동량의 변화율 (@@NAMATH_INLINE@@\Delta P/\Delta t@@NAMATH_INLINE@@) 은 (@@NAMATH_INLINE@@nMAv_x^2 )/V@@NAMATH_INLINE@@이며, 이 물리량은 힘(force)와 같다.

힘을 면적 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@으로 나눈 물리량이 압력이므로 @@NAMATH_INLINE@@ p = (nMv_x^2 )/V@@NAMATH_INLINE@@이다.

모든 분자들이 같은 속도로 움직이지는 않으므로, 압력은 평균 속도로 표현된다.

@@NAMATH_INLINE@@ p = (nM)/V@@NAMATH_INLINE@@

분자의 속도 @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@c^2 ==++=3@@NAMATH_INLINE@@ 이므로 압력은 다음과 같다.

@@NAMATH_INLINE@@p=nMc^2 /3V@@NAMATH_INLINE@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@는 평균제곱근 속도(root-mean-square speed: rms speed)이다: @@NAMATH_INLINE@@ c^2= (3RT/M) @@NAMATH_INLINE@@

이 식을 이상 기체 방정식 모양으로 변환하면 다음과 같다.

@@NAMATH_INLINE@@pV=nMc^2 /3 = nRT@@NAMATH_INLINE@@

실제 기체 상태 분자들은 무수히 많은 충돌을 겪으며, 충돌로 운동량을 서로 교환하면서 속도가 변환되며 궁극적으로 맥스웰-볼츠만(Maxwell-Boltzmann) 속도 분포, @@NAMATH_INLINE@@f(v)=4\pi (M/2\pi RT)^{3/2} v^2 e^{-Mv^2 /2RT} @@NAMATH_INLINE@@를 갖는다.

기체의 맥스웰-볼츠만(Maxwell-Bolzmann) 속도 분포 그래프 ()

이 속도 분포로부터 평균 속도(mean speed) @@NAMATH_INLINE@@\bar c = (8RT/\pi M)^{1/2}@@NAMATH_INLINE@@와 '가장 확률이 높은 속도'(the most probable speed) @@NAMATH_INLINE@@c* = (2RT/\pi M)^{1/2}@@NAMATH_INLINE@@를 얻을 수 있다.

맥스웰-볼츠만 속도 분포 그래프로부터 온도에 대한 정의를 유추할 수 있다. 온도가 높을 때 속도 분포 곡선의 폭이 넓어진다. 온도가 낮아질수록 속도 분포 곡선의 폭이 점점 좁아지며, 절대온도 0도에서는 속도 분포 곡선이 이론상 델타함수가 될 것이다. 이런 관점에서 기체의 속도 분포 곡선의 폭을 온도의 정의 - '기체 분자 운동론 관점에서의 온도'로 정의할 수 있다. 이 온도는 열역학적 온도와는 다를 수 있다.

총 에너지에서 제곱의 형태로 나타나는 자유도(degree of freedom)는 열역학적 평형 상태에서 평균 에너지에 각각 @@NAMATH_INLINE@@(1/2)k_B T@@NAMATH_INLINE@@씩 기여한다는 이론이다. 여기에서 @@NAMATH_INLINE@@k_B@@NAMATH_INLINE@@는 볼츠만 상수이다. 단원자 분자의 경우 병진 운동 에너지(translational kinetic energy), 진동 에너지(vibrational energy), 회전 에너지(rotational energy) 중 병진 운동 에너지(@@NAMATH_INLINE@@E_t@@NAMATH_INLINE@@)만 가지며, 병진 운동 에너지는 @@NAMATH_INLINE@@E_t = (1/2)mv_x^2 + (1/2)mv_y^2 + (1/2)mv_z^2 @@NAMATH_INLINE@@ 이기 때문에 @@NAMATH_INLINE@@ =3 \times (1/2)k_B T@@NAMATH_INLINE@@이다. 1몰 기체 분자의 경우, 평균 총 에너지는 @@NAMATH_INLINE@@(3/2)RT@@NAMATH_INLINE@@이다: @@NAMATH_INLINE@@N_A \times k_B = R@@NAMATH_INLINE@@.

기체 분자 운동론을 이용하여 한 기체 분자가 1초 동안 겪는 충돌 횟수, 즉 충돌 빈도(collision frequency) @@NAMATH_INLINE@@ z= \sigma \bar c_{rel}@@NAMATH_INLINE@@@@NAMATH_INLINE@@ \hat N@@NAMATH_INLINE@@ 를 계산할 수 있다: 여기서 @@NAMATH_INLINE@@ \hat N@@NAMATH_INLINE@@는 수밀도(number density), @@NAMATH_INLINE@@ \bar c_{rel}@@NAMATH_INLINE@@는 상대 평균 속도(relative mean speed)이다. @@NAMATH_INLINE@@ \bar c_{rel} =2^{1/2} \bar c@@NAMATH_INLINE@@ 이고, @@NAMATH_INLINE@@ \sigma = \pi d^2@@NAMATH_INLINE@@(d는 분자의 지름) 이다.

수밀도 @@NAMATH_INLINE@@ \hat N = N/V@@NAMATH_INLINE@@ 이므로, @@NAMATH_INLINE@@ z= (\sigma \bar c_{rel}p)/(kT) @@NAMATH_INLINE@@로도 표현할 수 있다.

충돌 빈도로부터 평균 자유 경로(mean free path, λ)를 계산할 수 있는데, 이는 기체 분자가 충돌 사이에 이동한 거리를 의미한다.

@@NAMATH_INLINE@@ \lambda = \bar c_{rel} \Delta t = \bar c_{rel} / z@@NAMATH_INLINE@@

이 식에 @@NAMATH_INLINE@@ z= (\sigma \bar c_{rel} p ) / ( kT ) @@NAMATH_INLINE@@를 대입하면, @@NAMATH_INLINE@@ \lambda =(kT ) / (\sigma p) @@NAMATH_INLINE@@를 얻을 수 있다.

질소 또는 산소 분자가 1기압, 섭씨 25도에서 약 500 m/s 로 움직이며, 약 1 ns 마다 충돌을 하고, 충돌 사이에 대략 평균 70 nm 정도 이동한다.

충돌 유량 @@NAMATH_INLINE@@Z_W @@NAMATH_INLINE@@는 단위 면적 당, 단위 시간 당 충돌하는 횟수를 의미하며, 다음과 같은 식으로 주어진다.

@@NAMATH_INLINE@@Z_W = p/(2\pi mkT)^{1/2}@@NAMATH_INLINE@@

충돌 유량으로부터 박스 표면에 있는 면적 @@NAMATH_INLINE@@A_0 @@NAMATH_INLINE@@인 작은 구멍을 통해 새어나오는 기체 분자의 확산 속도(rate of effusion)를 구할 수 있다.

Rate of effusion @@NAMATH_INLINE@@= Z_W A_0 = (pA_0 )/(2\pi mkT)^{1/2} = (pA_0 N_A )/(2\pi MRT)^{1/2}@@NAMATH_INLINE@@

1. 'Physical Chemistry', by P. W. Atkins and Julio de Paula, 9th Ed., W. H. Freeman and Company, New York