연속 반응

연속적으로 일어나는 반응을 가리키는 연속 반응(consecutive reaction)은 첫 번째 반응의 생성물이 다른 반응의 반응물이 되고, 다시 그반응의 생성물이 그 다음 이어지는 반응의 반응물이 되는 일련의 반응들을 말한다.

목차

기체 상태의 아세톤(@@NAMATH_INLINE@@\ce{ CH_3 CO CH_3 }@@NAMATH_INLINE@@)의 열분해 반응은 다음 두 단계 반응으로 일어난다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\ce{ CH_3 CO CH_3 -> CH_2 = CO + CH_4 }@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@\ce{ CH_2 =CO -> CO + 1/2 C_2 H_4 }@@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 첫 번째 반응의 생성물인 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ CH_2 =CO }@@NAMATH_INLINE@@이 두 번째 반응의 반응물이 되어 최종적으로 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ CO }@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ C_2 H_4 }@@NAMATH_INLINE@@이 생성되므로 이는 연속 반응이다.

많은 방사성 핵붕괴 반응 또한 연속 반응이다. 우라늄-238(@@NAMATH_INLINE@@\ce{ ^{238}_{92}U }@@NAMATH_INLINE@@)은 중성자 포획을 하면 우라늄-239(@@NAMATH_INLINE@@\ce{ ^{239}_{92}U }@@NAMATH_INLINE@@)가 된다. 우라늄-239(@@NAMATH_INLINE@@\ce{ ^{239}_{92}U }@@NAMATH_INLINE@@)는 @@NAMATH_INLINE@@\beta@@NAMATH_INLINE@@입자(전자)를 방출하면서 다음과 같은 연속 반응을 일으킨다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\ce{ ^{239}_{92}U ->^{239}_{93}Np +^{0}_{-1}\beta }@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@\ce{ ^{239}_{93}Np ->^{239}_{94}Pu +^{0}_{-1}\beta }@@NAMATH_DISPLAY@@

우라늄-238 (@@NAMATH_INLINE@@\ce{ ^{238}_{92}U }@@NAMATH_INLINE@@)이 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ \alpha }@@NAMATH_INLINE@@입자 방출을 하면서 일어나는 연속 반응은 아래 그림에 나와 있는 것과 같이 여러 단계 방사성 붕괴 과정을 거쳐 최종적으로 납-206(@@NAMATH_INLINE@@\ce{ ^{206}_{82}Pb }@@NAMATH_INLINE@@)을 생성한다.

우라늄-238의 연속적인 방사성 붕괴를 나타내는 도표 ()

모든 방사성 붕괴 반응은 1차 반응 속도식을 따른다. 즉, 반응 속도식에서 반응 차수가 1이다.

다음 두 단계 연속 반응을 생각해보자.

@@NAMATH_DISPLAY@@\ce{ A ->[k_1] B ->[k_2] C }@@NAMATH_DISPLAY@@

각각의 반응이 단일 단계 반응이면 1차 반응이며, 그때 속도식은 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@{d[\mathrm{A}] \over dx} = - k_1 [\mathrm{A}]@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@{d[\mathrm{B}] \over dx} = k_1 [\mathrm{A}] - k_2 [\mathrm{B}]@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@{d[\mathrm{C}] \over dx} = k_2 [\mathrm{B}]@@NAMATH_DISPLAY@@

반응 초기 @@NAMATH_INLINE@@\mathrm{A}@@NAMATH_INLINE@@의 농도가 @@NAMATH_INLINE@@[\mathrm{A}]_0@@NAMATH_INLINE@@이면 시간에 따른 @@NAMATH_INLINE@@\mathrm{A}@@NAMATH_INLINE@@의 농도 @@NAMATH_INLINE@@[\mathrm{A}]@@NAMATH_INLINE@@는 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@[\mathrm{A}] = [\mathrm{A}]_0 \exp (-k_1 t)@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_INLINE@@\mathrm{B}@@NAMATH_INLINE@@의 농도는 위의 반응 속도식에 나타나는 것처럼 @@NAMATH_INLINE@@\mathrm{A}@@NAMATH_INLINE@@의 반응에 의한 생성 속도와 @@NAMATH_INLINE@@\mathrm{B}@@NAMATH_INLINE@@의 반응에 의한 소모 속도에 의해 결정되는데, 정류-상태 근사법을 사용하면 다음과 같은 관계식이 얻어진다.

@@NAMATH_DISPLAY@@k_1 [\mathrm{A}] - k_2 [\mathrm{B}] = 0@@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@k_2 \gg k_1@@NAMATH_INLINE@@을 가정하면 시간이 지남에 따라 @@NAMATH_INLINE@@\mathrm{B}@@NAMATH_INLINE@@의 농도 @@NAMATH_INLINE@@[\mathrm{B}]@@NAMATH_INLINE@@가 매우 작고 항상 일정하게 유지가 된다.

@@NAMATH_DISPLAY@@[\mathrm{B}]={k_1 \over k_2}[\mathrm{A}]={k_1 \over k_2} [\mathrm{A}]_0 \exp (-k_1 t)@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_INLINE@@ \mathrm{C} @@NAMATH_INLINE@@의 농도 @@NAMATH_INLINE@@[\mathrm{C}]@@NAMATH_INLINE@@는 다음과 같이 구할 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@[\mathrm{C}] = [\mathrm{A}]_0 - [\mathrm{A}] - [\mathrm{B}] = [\mathrm{A}]_0 (1 - \exp(-k_1 t)-{k_1 \over k_2} \exp(-k_1 t))@@NAMATH_DISPLAY@@

이처럼 연속 반응에서 시간에 따른 생성물의 농도는 단일 반응에서보다 복잡하며 구체적인 반응 메커니즘에 크게 좌우된다.

다음과 같은 연속 반응을 생각해보자.

@@NAMATH_DISPLAY@@\ce{ A + B <=>[k_1][k_{-1}] C ->[k_2] P }@@NAMATH_DISPLAY@@

첫 번째 반응은 반응 중간체 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ C }@@NAMATH_INLINE@@가 반응물과 평형 상태에 놓이는 사전 평형(pre-equilibrium) 과정을 거친다. 이 사전 평형 상태에서 중간체의 생성 속도(@@NAMATH_INLINE@@k_1@@NAMATH_INLINE@@)와 중간체가 다시 반응물로 분해되는 반응 속도(@@NAMATH_INLINE@@k_{-1}@@NAMATH_INLINE@@)가 모두 매우 빠르고 중간체에서 생성물이 만들어지는 속도(@@NAMATH_INLINE@@k_2@@NAMATH_INLINE@@)가 상대적으로 매우 느리다(@@NAMATH_INLINE@@k_1 \thickapprox k_{-1} \gg k_2@@NAMATH_INLINE@@). 이 경우 반응 중간체 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ C }@@NAMATH_INLINE@@의 농도는 작으며 반응 시간이 지남에 따라 크게 변하지 않기 때문에 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ C }@@NAMATH_INLINE@@의 농도를 구하는 과정에서 정류상태 근사법을 사용할 수 있다.

만약 @@NAMATH_INLINE@@k_2 \approx 0@@NAMATH_INLINE@@을 가정하면, 사전 평형 상태에 대한 평형 상수 @@NAMATH_INLINE@@K@@NAMATH_INLINE@@를 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@K={[\mathrm{C}] \over [\mathrm{A}][\mathrm{B}]} = {k_1 \over k_{-1}}@@NAMATH_DISPLAY@@

이 경우 생성물 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ P }@@NAMATH_INLINE@@의 생성 속도는 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@{d\mathrm{P} \over dt} = k_2 [\mathrm{C}] = k_2 K [\mathrm{A}][\mathrm{B}] ={k_1 k_2 \over k_{-1}} [\mathrm{A}][\mathrm{B}]@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_INLINE@@\ce{ C }@@NAMATH_INLINE@@에 대해 정류-상태 근사법을 적용하면 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@{d\mathrm{C} \over dt} = k_1 [\mathrm{A}][\mathrm{B}] - k_{-1}[\mathrm{C}] - k_2 [\mathrm{C}] = 0@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@\therefore [\mathrm{C}] = {k_1 \over{k_{-1}+ k_2}} [\mathrm{A}][\mathrm{B}]@@NAMATH_DISPLAY@@

이 경우 생성물 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ P }@@NAMATH_INLINE@@의 생성 속도는 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@{d\mathrm{P} \over dt} = k_2 [\mathrm{C}] = {k_1 k_2 \over{k_{-1}+ k_2}} [\mathrm{A}][\mathrm{B}]@@NAMATH_DISPLAY@@

효소 반응도 이와 같이 반응물인 기질 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ E }@@NAMATH_INLINE@@와 촉매인 효소 @@NAMATH_INLINE@@\ce{ S }@@NAMATH_INLINE@@가  반응 중간체(@@NAMATH_INLINE@@\ce{ ES }@@NAMATH_INLINE@@)와 사전 평형을 거쳐 생성물을 만들기 때문에 사전 평형 과정을 거치는 연속 반응으로 볼 수 있다. 정류-상태 근사법을 이용한 효소 반응의 반응 속도 관계는 반응 중간체에서 더 자세히 기술되어 있다.