도플러 효과

오스트리아의 물리학자 도플러(Christian Doppler, 1803-1853)의 이름을 딴 도플러 효과는 파동의 원천에 대한 상대적인 움직임이 있을 때, 즉 원천이 움직이거나 관찰자가 움직일 때 관찰자가 느끼는 파동의 진동수 혹은 파장의 변화를 가리킨다. 널리 알려진 예는 그림 1에 나와 있는 관찰자를 지나쳐가는 자동차 사이렌의 음높이 변화이다.

그림 1. 자동차 사이렌의 진동수 (파장) 변화. ()

그림 1에서 자동차는 오른쪽에서 왼쪽으로 이동한다. 자동차가 관찰자 A에게 접근할 때, 그가 감지하는 진동수는 자동차에서 나오는 소리의 진동수보다 높아지고(즉 파장이 짧아지고), 멀어질 때, 즉 관찰자 B가 감지하는 진동수는 낮아진다(즉 파장이 길어진다). 파동의 원천과 관찰자 사이의 거리가 줄어들면 연이은 파동 사이의 시간 간격은 거리가 일정할 때보다 짧아진다. 따라서 시간당 파동의 수 진동수는 커진다.

과학 분야에서 널리 인용되는 도플러 효과의 예는 우주 팽창을 발견한 허블 법칙(Hubble's law)¹⁾이다. 그림 2에 나와 있는 것처럼 천체로부터 관찰되는 원자 스펙트럼은 실험실에서 관찰되는 그 스펙트럼보다 낮은 진동수에서 나타나는 적색 이동(red shift)을 보여준다. 우주 팽창과 관련된 이 적색 이동은 엄밀하게 말하면 도플러 효과가 아니며, 순수한 일반 상대성 이론만으로도 우주론적 적색 이동은 설명된다. 하지만 천문학에서 관찰되는 우주론적 규모의 도플러 효과도 존재한다.

그림 2. 멀리 떨어진 천체으로부터 관찰되는 스펙트럼의 적색 이동 (red shift). ()

목차

자동차 사이렌과 천체 스펙트럼의 적색 이동 외에도 도플러 효과는 움직이는 물체의 속도를 측정하는 다양한 종류의 레이더에 이용된다. 고속도로 등에서 사용되는 자동차 속도 측정기는 일종의 레이더(radar)로서 접근하는 자동차에 연속으로 레이더파를 보내고 반사되는 파동들의 파장 차이로부터 자동차 속도를 측정한다.

레이저나 초음파를 이용하는 유속 측정기는 유속을 매우 정밀하게 측정하는 데 도플러 효과를 이용한다. 심장 관련 의료 분야에서는 혈액의 유속을 측정하여 진단에 사용하며 도플러 효과는 속도를 측정할 뿐만 아니라 영상을 얻는 데에도 이용된다. 산부인과 등에서 널리 사용되는 초음파 영상은 보내준 파동과 반사되는 파동의 진동수 차이가 아니라 위상 차이를 측정하여 정밀한 영상을 얻는다.

스피커, 전자 오르간 같은 음향 기기에서는 모터를 이용하여 소리가 발생하는 부분을 회전시켜 웅장한 효과를 내는데 이 역시 도플러 효과 덕분이다. 매우 빠르게 움직이는 인공위성과 통신하는 데 사용되는 전파에도 도플러 효과가 일어난다. 일정한 주파수로 인공위성 통신을 하기 위해서는 도플러 효과로 인한 주파수 보정이 필요하다.

도플러 효과 식은 다음과 같다.

@@NAMATH_INLINE@@f = \left [ \frac{(c\ \pm\ v_r)}{(c \ \pm\ v_s)} \right ] \ f_0@@NAMATH_INLINE@@

관찰자의 속도 @@NAMATH_INLINE@@v_r@@NAMATH_INLINE@@은 접근할 때 +, 멀어질 때 – 부호를 취한다. 파동 원천의 속도 @@NAMATH_INLINE@@v_s@@NAMATH_INLINE@@는 관찰자의 속도와 반대 부호를 가져, 접근할 때는 - 그리고 멀어질 때는 +이다. @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@는 파동의 속도이고, @@NAMATH_INLINE@@f_0@@NAMATH_INLINE@@는 원천에서 방출되는 파동의 진동수이며, @@NAMATH_INLINE@@f@@NAMATH_INLINE@@는 관찰자가 감지하는 진동수이다.

빛의 속도는 어떤 이동 속도보다 매우 크다. 즉, 상대속도가 빛의 속도에 비해 매우 작은 경우(@@NAMATH_INLINE@@c\ \gg\, v_r,\, v_s@@NAMATH_INLINE@@) 위 식은 다음과 같은 근사식이 된다.

@@NAMATH_INLINE@@f\ = \ (1 \ \pm{{\Delta v} \over c})\, f_0@@NAMATH_INLINE@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\Delta v\ = v_r\ -\, v_s@@NAMATH_INLINE@@이다.

도플러 선폭 넓어짐(Doppler broadening)은 불균일 선폭 넓어짐(inhomogeneous broadening)의 대표적인 예²⁾이다. 모든 방향으로 매우 빠르게 움직이고 있는 기체 상태 원자 혹은 분자에 빛을 쪼이면 운동 방향과 속도에 따른 도플러 효과가 나타난다. 어떤 입자는 광원에게서 멀어지거나 가까워지며, 또 평균보다 빠르거나 느리게 움직인다. 따라서 흡수 스펙트럼과 발광 스펙트럼에서 관찰되는 스펙트럼은 이 모든 도플러 효과를 합한 결과이다.

온도 @@NAMATH_INLINE@@T@@NAMATH_INLINE@@에서 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@인 입자의 운동 에너지가 볼츠만 분포를 한다고 가정할 때 도플러 효과로 인한 스펙트럼의 선폭 넓어짐은 다음과 같다.

@@NAMATH_INLINE@@\delta\nu\ =\left ( \frac{2\nu_o}{c} \right )\ \left [ \frac{2kT \, ln\ 2}{m} \right ]^{1/2}@@NAMATH_INLINE@@

그림 3에는 도플러 효과로 인해 넓어진 스펙트럼 봉우리가 나와 있는데, 위 식의 선폭@@NAMATH_INLINE@@(\delta\nu)@@NAMATH_INLINE@@은 반높이 너비(width at half height)에 해당한다. @@NAMATH_INLINE@@\nu_o@@NAMATH_INLINE@@는 광원의 진동수, @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@는 빛의 속도, @@NAMATH_INLINE@@k@@NAMATH_INLINE@@는 볼츠만 상수, @@NAMATH_INLINE@@T@@NAMATH_INLINE@@는 절대온도, @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@은 입자의 질량이다. 상온에 존재하는 실리콘 원자의 경우 도플러 효과로 인한 선폭 넓어짐은 @@NAMATH_INLINE@@\delta \nu\ /\ \nu_o\ =\ 2.3 \ \times\ 10^{-6}@@NAMATH_INLINE@@ 정도이다. 스펙트럼 모양은 종 모양의 가우스(Gauss) 함수 형태인데, 이는 속도 분포에 기인한다. 일반적으로 불균일 선폭 넓어짐으로 인한 효과는 가우스 함수로, 균일 선폭 넓어짐으로 인한 효과는 로렌츠(Lorentz) 함수로 표현된다. 실제로는 두 개 함수가 합쳐진 형태가 나타난다.³⁾

그림 3. 도플러 선폭 넓어짐에 의한 스펙트럼. ()

온도가 높아지면 입자의 속도 분포가 더 넓어지기 때문에 도플러 선폭 넓어짐은 온도가 높아지면 증가한다. 따라서 이를 줄이기 위해서는 가능한 낮은 온도에서 실험하는 것이 좋다.⁴⁾

1. 먼 우주에서 관찰되는 천체들은 지구로부터 멀어지는 것으로 해석되는 적색 이동을 보이며, 후퇴 속도는 지구로부터의 거리에 대략 비례한다는 우주 팽창에 관한 법칙
2. 분광학에서 관찰되는 스펙트럼은 여러 가지 이유로 선폭 넓어짐 (spectral line broadening) 현상을 보인다. 선폭 넓어짐은 균일 선폭 넓어짐 (homogeneous broadening)과 불균일 선폭 넓어짐 (inhomogeneous broadening)으로 나뉜다. 균일 선폭 넓어짐은 선폭 넓어짐에 기여하는 분자를 특정할 수 없을 때 나타나는 선폭 넓어짐을 가리키며, 불균일 선폭 넓어짐은 선폭 넓어짐에 기여하는 분자를 특정할 수 있을 때 나타나는 선폭 넓어짐을 가리킨다. 균일 선폭 넓어짐의 예 중 하나는 들뜬 상태 수명에 의한 선폭 넓어짐이다. 들뜬 상태의 유한한 수명으로 인해 에너지 준위에 불확정성이 생기며 이 결과 이 에너지 준위가 관련된 전이에 따른 스펙트럼의 선폭이 넓어진다. 이때 넓어진 스펙트럼의 특정 부분에 기여하는 분자를 특정할 수 없기 때문에 – 분자가 무작위로 전이하기 때문에 들뜬 상태의 수명에 의한 선폭 넓어짐은 균일 넓어짐이다. 도플러 효과로 인한 선폭 넓어짐은 빛을 향해 접근하는 분자와 멀어지는 분자가 선폭에 기여하는 부분을 특정할 수 있다. 그림 3에서 공명 진동수@@NAMATH_INLINE@@\nu_0@@NAMATH_INLINE@@보다 높은 진동수의 빛을 흡수하는 분자는 광원으로부터 멀어지는 분자이며, @@NAMATH_INLINE@@\nu_0@@NAMATH_INLINE@@보다 낮은 진동수의 빛을 흡수하는 분자는 광원으로 접근하는 분자이다. 광원으로부터 멀어지는 분자는 광원의 진동수보다 낮은 진동수를 경험하기 때문에 원래 공명 진동수보다 높은 진동수의 빛을 흡수한다. 분자의 운동 방향에 따라 감응하는 빛의 진동수가 달라지기 때문에 일어나는 선폭 넓어짐은 불균일 선폭 넓어짐이다.
3. 가우스 함수와 로렌츠 함수가 합쳐진 함수를 보이트 (Voight) 함수라고 한다.
4. 분광학에서 전이 진동수를 정확하게 측정하기 위해서는 도플러 효과 등 여러 가지 선폭 넓어짐 현상을 제거해야 한다. 이를 위한 실험 방법을 도플러 효과 제거 분광법 (Doppler-free spectroscopy) 혹은 포화 분광법 (saturation spectroscopy)라고 한다.