싱크로트론복사

[ synchrotron radiation ]

싱크로트론복사(synchrotron radiation)는 상대론적인 속도(relativistic speed)로 운동하는 전자가 자기장이 존재하는 공간에서 가속될 때 방출되는 전자기파이다. 전자의 속도가 비상대론적일 경우에는 자이로복사(gyro radiation)이라고 하고, 전자의 운동에너지와 정지질량에너지가 비슷한 경우에는 사이클로트론복사(cyclotron radiation)라고 한다. 싱크로트론복사는 전자의 운동에너지가 정지질량에너지보다 큰 상대론적인 경우의 복사로서, 온도로 기술할 수 없는 비열적복사의 일종이다.

싱크로트론 복사는 전하를 띤 입자(예, 전자)가 자기력에 의해 가속될 경우 변화된 운동에너지를 빛으로 내는 대표적인 비열적 복사이다. 싱크로트론 복사가 방출하는 총 일률(power) @@NAMATH_INLINE@@P@@NAMATH_INLINE@@는 입자의 전하가 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@이고 입자가 받는 가속도가 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@일 때 라모 방정식(Larmor’s equation)에 의해 기술된다.

@@NAMATH_DISPLAY@@ P=\frac{2}{3}\frac{q^2a^2}{c^3} @@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@c@@NAMATH_INLINE@@는 빛의 속도이다. 전하를 띤 입자가 전기력에 의해 가속될 경우 방출되는 복사 즉 제동복사(bremsstrahlung 또는 braking radiation)의 경우, 양이온 주변에 접근하는 전자가 양이온에 의한 전기장에 의해 운동 방향이나 속력이 변하여 가속 운동을 받게된다. 반면에, 하전 입자가 자기력에 의해 가속될 경우 방출되는 복사 즉 자기제동복사(magnetobremsstrahlung 또는 magnetic breaking radiation)의 경우, 자기장 주변에 접근하는 전자가 가속력을 받아 자기장 주변을 원운동(또는 나선운동)하게 된다. 전하를 띤 입자들 중에서 가벼운 입자(예, 전자 또는 양전자)가 상대적으로 무거운 입자(예, 양성자 또는 무거운 이온)에 비해 쉽게 가속되기 때문에, 천문학에서 관측되는 자기제동복사는 대부분 전자에 의해 방출되는 빛이다. 이 자기제동복사는 전자의 운동속도에 의해 다르게 분류되는데, 전자의 속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@가 빛보다 아주 느릴 경우(@@NAMATH_INLINE@@v \ll c@@NAMATH_INLINE@@) 방출되는 빛은 자이로복사(gyro radiation)라고 부르고, 전자의 속도가 비교적 빨라서 운동에너지가 전자의 정지질량에너지(rest mass energy) @@NAMATH_INLINE@@m_{\rm e}c^2@@NAMATH_INLINE@@와 비슷할 경우 방출되는 빛은 사이클로트론복사(cyclotron radiation)라고 부르며, 전자의 속도가 빛의 속도에 가까워서 그 운동에너지가 정지질량에너지보다 매우 클 경우(@@NAMATH_INLINE@@\gg m_{\rm e}c^2@@NAMATH_INLINE@@) 방출되 는 빛은 싱크로트론복사(synchrotron radiation)라고 부른다.

비상대론적인 속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 운동하는 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@인 하전 입자 @@NAMATH_INLINE@@q@@NAMATH_INLINE@@가 주변 자기장 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@로 말미암아 운동속도에 수직한 방향으로 자기력을 받아 가속도 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@로 가속될 때 자기력선 주변으로 각속도 @@NAMATH_INLINE@@\omega@@NAMATH_INLINE@@, 반지름 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@을 갖는 원운동을 하게 된다. 이때 하전 입자에 작용하는 자기력 @@NAMATH_INLINE@@\frac{evB}{c}@@NAMATH_INLINE@@와 원운동에 의한 원심력 @@NAMATH_INLINE@@m\omega^2R@@NAMATH_INLINE@@이 균형을 이루게 되므로, 그 각속도는 @@NAMATH_INLINE@@\omega_{\rm G}=\frac{qB}{mc} {\rm rad~sec}^{-1}@@NAMATH_INLINE@@ 또는 @@NAMATH_INLINE@@\nu_{\rm G}=\frac{1}{2\pi}\frac{qB}{mc}{\rm Hz}@@NAMATH_INLINE@@이다. 이를 자이로주파수(gyro frequency)라고 한다. 하전 입자가 전자일 경우 자이로주파수는 @@NAMATH_INLINE@@\nu_{\rm G}=\frac{eB}{2\pi m_ec}=2.8B@@NAMATH_INLINE@@ MHz이다. 이때 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@의 단위는 가우스(Gauss)이다.

천문학에서 관측되는 싱크로트론복사

그림 3. 활동은하핵 M87을 허블우주망원경으로 관측한 영상()

천문학에서 관측되는 싱크로트론복사는 우리은하 내 자기장 내에서 상대론적(relativistic) 속도로 운동하는 자유전자, 양성자 등의 우주선(cosmic rays) 입자들이 가속 또는 감속을 받을 때 방출된다. 만약 자유전자의 속도가 비상대론적일 경우 우리은하 내의 전형적인 자기장 세기가 약 @@NAMATH_INLINE@@5\mu G@@NAMATH_INLINE@@일 경우 전자는 자이로주파수 14Hz로 원운동을 하며 자이로복사를 내며, 상대론적인 속도를 갖고 있는 자유전자의 경우 싱크로트론복사를 방출한다. 우리은하 내 싱크로트론복사는 강한 자기장과 상대론적인 입자가 존재하는 초신성이나 중성자별에서도 관측된다. 특히 게성운에서 방출되는 싱크로트론복사는 중심부 펄사에 의해 형성된 강한 자기장에 의해 가속되는 상대론적인 전자에 의해 높은 에너지의 싱크로트론 복사를 방출한다. 싱크로트론 복사는 외부은하 관측에서도 발견되는데, 활동은하핵(active galactic nuclei)의 제트 등에서 상대론적인 속도로 분출되는 전자가 강한 자기장에 의해 가속될 때 방출되는 것이 그 대표적인 예이다. M87과 같은 활동은하핵은 전파와 광학 영역에서 아주 밝은 제트 구조를 보이며 강한 싱크로트론복사를 방출하는 것으로 알려져 있다.

싱크로트론복사의 세기

그림 4. 피치각. 자기장과 전자의 운동방향이 이루는 각.(출처: 이상성/천문학회)

싱크로트론복사의 세기는 우리은하뿐만 아니라 외부은하에 존재하는 상대론적 입자 즉, 고에너지 입자에 대한 연구에 중요한 정보를 제공한다. 싱크로트론복사의 세기는 라모 공식으로 계산할 수 있다. 질량 @@NAMATH_INLINE@@m_{\rm e}@@NAMATH_INLINE@@인 한 전자가 일정한 자기장 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@\alpha@@NAMATH_INLINE@@의 각을 이루며 속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 운동하고 있을 때 싱크로트론복사의 세기를 계산할 수 있다. 먼저 라모 방정식을 써서 전자가 정지해 있는 좌표계에서 싱크로트론 복사의 세기를 구한 다음, 이를 관측자 좌표계로 변한하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@ P=\frac{2e^2}{3c^2}\gamma^2\frac{e^2B^2}{m_{\rm e}^2c^2}v^2{\rm sin}^2\alpha @@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@\gamma\equiv\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}@@NAMATH_INLINE@@는 로렌츠인자(Lorentz factor)이며, @@NAMATH_INLINE@@\alpha@@NAMATH_INLINE@@는 피치각(pitch angle)이라고 한다.

상대론적 전자들은 싱크로트론복사에 의해 그 운동에너지를 모두 잃는데 수 천년에서 수 백만년이 걸린다. 이 기간 여러 가지 요인에 의해 그 운동 방향과 자기장이 이루는 각인 피치각 @@NAMATH_INLINE@@\alpha@@NAMATH_INLINE@@는 무작위 분포를 갖게 된다. 따라서 일정한 자기장 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@가 존재하는 영역에서 일정한 속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@를 갖는 상대론적 전자들이 방출하는 싱크로트론복사의 평균값 @@NAMATH_INLINE@@

@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@<{\rm sin}^2\alpha>=\frac{2}{3}@@NAMATH_INLINE@@임을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@

=\frac{4}{3}\sigma_{\rm T}\beta^2\gamma^2cU_{\rm B} @@NAMATH_DISPLAY@@

이때, @@NAMATH_INLINE@@\sigma_{\rm T}\equiv\frac{8\pi}{3}\frac{e^2}{m_{\rm e}c^2}@@NAMATH_INLINE@@는 톰슨단면적(Thomson cross section)이며, @@NAMATH_INLINE@@\beta=\frac{v}{c}@@NAMATH_INLINE@@ 이고, @@NAMATH_INLINE@@U_{\rm B}=\frac{B^2}{8\pi}@@NAMATH_INLINE@@는 자기에너지밀도이다.

싱크로트론복사의 스펙트럼

그림 5. 싱크로트론복사의 상대론적 빔비춤 효과. 전자의 정지좌표계에서 도너츠 모양의 방출패턴(초록실선)은 관측자의 좌표계에서는 전자의 운동방향을 중심으로 @@NAMATH_INLINE@@\theta=\frac{2}{\gamma}@@NAMATH_INLINE@@ 각에 거의 모든 방출이 집중(검정실선)된다.(출처: 이상성/천문학회)

싱크로트론복사는 넓은 주파수 대역에 걸쳐 연속적으로 방출되는데 이는 싱크로트론복사의 방출 패턴이 주기적인 펄스 형태로 방출되기 때문이다. 이는 싱크로트론복사가 전자의 정지좌표계에서 볼 때 두꺼운 도너츠 형태의 방출 분포를 갖는 반면, 관측자의 좌표계에서는 상대론적인 전자의 운동으로 인한 상대론적 빔비춤 효과(relativistic beaming effect)로 모든 방향의 방출 빛이 전자의 운동 방향을 중심으로 집중되는 방출 분포로 관측되기 때문이다. 이와 같이 시간에 따라 주기적인 펄스 형태의 방출을 보이는 싱크로트론복사의 스펙트럼은 푸리에변환으로 다음과 같은 주파수 함수의 스펙트럼을 얻을 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@ P(\nu)=\frac{\sqrt{3}e^3B{\rm sin}\alpha}{m_{\rm e}c^2}\left(\frac{\nu}{\nu_{\rm c}}\right)\int_{\nu/\nu_{\rm c}}^{\infty}K_{5/3}(\eta)d\eta @@NAMATH_DISPLAY@@

여기서 @@NAMATH_INLINE@@K_{5/3}@@NAMATH_INLINE@@은 베셀함수(Bessel function)이고, @@NAMATH_INLINE@@\nu_{\rm c}@@NAMATH_INLINE@@는 임계진동수(critical frequency)로서 그 값은 @@NAMATH_INLINE@@\nu_{\rm c}=\frac{3}{2}\gamma^2\nu_{\rm G}{\rm sin}\alpha@@NAMATH_INLINE@@이며, @@NAMATH_INLINE@@\nu_{\rm G}@@NAMATH_INLINE@@는 자이로주파수(gyro frequency)로서 그 값은 @@NAMATH_INLINE@@\nu_{\rm G}=\frac{eB}{2\pi m_{\rm e}c}@@NAMATH_INLINE@@이다.

상대론적 전자들로 이루어진 싱크로트론복사원(synchrotron source)이 광학적으로 얇다면(optically thin), 그 싱크로트론복사의 스펙트럼은 각 전자들이 방출하는 싱크로트론복사들이 합쳐진 형태로 관측될 것이다. 일반적인 우주선 전자들(cosmic-ray electrons)의 에너지분포가 멱함수(power law) 분포(@@NAMATH_INLINE@@n(E)\propto E^{-\delta}@@NAMATH_INLINE@@)를 이루기 때문에, 싱크로트론복사 원의 스펙트럼을 나타내는 방출계수(emission coefficient)도 자기장 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@와 주파수 @@NAMATH_INLINE@@\nu@@NAMATH_INLINE@@의 멱함수 형태를 가지게 된다.

@@NAMATH_DISPLAY@@ j_{\nu}\propto B^{(\delta+1)/2}\nu^{(1-\delta)/2} @@NAMATH_DISPLAY@@

따라서, 일정한 자기장 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@가 분포한 천체에서 관측되는 싱크로트론복사의 스펙트럼은 주파수에 대한 멱함수 형태(@@NAMATH_INLINE@@j_{\nu}\propto \nu^{\alpha})@@NAMATH_INLINE@@를 갖게 되고, 이때 @@NAMATH_INLINE@@\alpha@@NAMATH_INLINE@@를 스펙트럼지수(spectral index)라고 한다.

@@NAMATH_DISPLAY@@ \alpha=\frac{1-\delta}{2} @@NAMATH_DISPLAY@@

천문학에서 싱크로트론복사원의 관측으로 얻는 스펙트럼지수로, 싱크로트론복사 원의 입자들의 에너지분포를 유추할 수 있다. 예를 들면, 천문학에서 많은 싱크로트론복사 원들의 스펙트럼지수가 주파수 1GHz 대역에서 대략 @@NAMATH_INLINE@@\alpha\approx–0.75@@NAMATH_INLINE@@임으로, 우주선 입자의 에너지분포가 지수 @@NAMATH_INLINE@@\delta\approx2.5@@NAMATH_INLINE@@인 멱함수 형태를 갖는다는 것을 알 수 있다.

싱크로트론복사