밀도

밀도는 물질의 단위부피당 질량이며, 국제단위계에서의 단위는 kg/m³이다. 밀도는 세기 변수(intensive variable)로서 물질의 특성을 나타내는 양이다.

부피가 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@인 균일한 물질의 질량이 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@이라면, 이 물질의 밀도 @@NAMATH_INLINE@@\rho@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} \rho = \frac{m}{V}\end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@로 주어진다. 국제단위계에서 질량의 단위는 kg, 부피의 단위는 m³이므로, 식 (1)에 의해 밀도의 단위는 kg/m³이 된다. CGS 단위계에서 밀도의 단위는 g/cm³인데, g/cm³로 나타낸 고체나 액체의 밀도가 보통 한 자리 혹은 두 자리 숫자이므로 이 단위가 더 널리 쓰인다. 예를 들어 물의 밀도는 1 g/cm³ = 1000 kg/m³이다.

물질이 균일하지 않을 경우, 부피 @@NAMATH_INLINE@@dV@@NAMATH_INLINE@@ 안에서는 거의 균일하도록 충분히 작은 부피 @@NAMATH_INLINE@@dV@@NAMATH_INLINE@@를 잡고 이 @@NAMATH_INLINE@@dV@@NAMATH_INLINE@@ 안의 적은 질량을 @@NAMATH_INLINE@@dm@@NAMATH_INLINE@@이라고 하면, 밀도는 @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} \rho (\mathbf{r}) = \frac{dm}{dV}\end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@로 주어진다. 예를 들어, 그림 1에서 색의 농도가 물질의 밀도를 나타낸다면, 그림 1 전체로는 밀도가 균일하지 않지만, 작은 구를 그리면 이 작은 구 안에서는 균일하다고 볼 수 있고, 식 (2)로써 작은 구 안의 밀도를 나타낼 수 있다. 이 때 밀도 @@NAMATH_INLINE@@\rho@@NAMATH_INLINE@@는 물론 @@NAMATH_INLINE@@dV@@NAMATH_INLINE@@의 위치 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@에 따라 달라지므로, 식 (2)에서 보듯이 위치의 함수 @@NAMATH_INLINE@@ \rho (\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@로 주어진다. 식 (2)의 미분식에 대응하는 적분식은 @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} m = \int \rho (\mathbf{r}) dV \end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@이고, 이 적분은 @@NAMATH_INLINE@@ \rho (\mathbf{r}) \ne 0@@NAMATH_INLINE@@인 공간에 대한 적분이다.

그림 1. 균일하지 않은 물질에서의 국소 밀도의 정의

부피 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@나 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@은 물질의 양에 따라 값이 달라지는 양이다. 예를 들어 온도나 압력 등이 같은 조건에서 물질의 양이 2배가 되면 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@도 2배가 된다. 이처럼 물질의 양에 비례하는 물리량을 크기 변수(extensive variable)라고 한다. 한편 두 크기 변수의 비로 주어지는 밀도와 같은 변수는 물질의 양이 달라져도 같은 값을 갖는다. 이와 같이 물질의 양에 무관하게 일정한 물리량을 세기 변수라고 한다. 크기 변수는 같은 물질이라도 양에 따라 값이 달라지기 때문에 물질의 특성을 나타낼 수 없지만, 하나의 물질에는 하나의 세기 변수가 대응하므로 세기 변수는 물질의 특성을 나타내는 양으로 사용할 수 있다. 예를 들어, 구리의 밀도는 8.93 g/cm³라고 말할 수 있지만, 구리의 질량이 얼마라고 말할 수는 없다. 일반적으로 물질의 밀도는 온도와 압력의 함수이므로 엄밀하게 밀도를 얘기할 때는 어떤 온도와 압력에서의 밀도인지를 말해야 한다. 하지만 고체나 액체의 밀도가 온도나 압력에 아주 민감하지는 않으므로, 보통 온도와 압력에 대해 언급하지 않고 1 기압 실온에서의 밀도를 그냥 밀도라고 하기도 한다.

밀도는 단위부피당 질량이라는 정의에서 조금씩 변형된 형태로도 많이 쓰인다. 예를 들어, 막대 모양의 물체에는 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@을 길이 @@NAMATH_INLINE@@l@@NAMATH_INLINE@@로 나눈 선밀도 @@NAMATH_INLINE@@ \mu = m/l@@NAMATH_INLINE@@을 사용하고, 면 형태의 물체에는 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@을 면적 @@NAMATH_INLINE@@S@@NAMATH_INLINE@@로 나눈 면밀도 @@NAMATH_INLINE@@ \sigma = m/S@@NAMATH_INLINE@@를 사용한다. 또한 단위부피당 입자의 개수를 개수 밀도(number density)라고 하고, 단위부피당 전하의 양을 전하밀도라고 하기도 한다. 또 다른 예로는, 단위면적당 전류를 전류밀도라고 하고, 단위면적당 자기선속을 자기선속밀도라고 한다. 또한 고체물리학에서는 에너지 @@NAMATH_INLINE@@E@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@E+dE@@NAMATH_INLINE@@ 사이에 있는 양자역학적 상태의 수가 @@NAMATH_INLINE@@d\Omega@@NAMATH_INLINE@@일 때 @@NAMATH_INLINE@@D(E) = d\Omega/dE@@NAMATH_INLINE@@를 상태 밀도(density of states)라고 한다.