부피

표준국어대사전에 의하면 부피는 입체, 즉 넓이와 높이를 가진 물건이 차지하는 공간의 크기이며¹⁾, 체적이라고도 한다. 국제단위계에서 부피의 단위는 세제곱미터(m³)인데 다소 큰 양이어서, 일상생활에서는 세제곱센티미터(cm³) = 시시(cc, cubic centimeter)나 리터(liter, 기호 L, @@NAMATH_INLINE@@l@@NAMATH_INLINE@@)를 많이 사용한다. 1 L = 10³ cm³ = 10^-3 m³이다.

부피는 삼차원 물체가 차지하는 삼차원 공간의 크기이다. 간혹 일차원 물체의 길이나 이차원 물체의 넓이 등도 부피로 통칭하는 경우도 있다. 일상생활에서 통이나 그릇에 표시되어 있는 부피는 통이나 그릇 자체의 부피가 아니라 그 안에 담길 수 있는 액체의 부피를 뜻하는데, 이를 들이, 혹은 용량이라고 한다. 그림 1은 들이가 표시되어 있는 계량컵이다.

그림 1. 여러 가지 단위로 들이가 표시되어 있는 계량컵 ()

국제단위계에서 길이의 단위는 미터(m)이므로 부피의 단위는 m³이다. 1 m³는 각 변의 길이가 1 m인 정육면체의 부피라서 상당히 큰 양이므로, 일상생활에서는 그 1/1000인 리터를 많이 쓴다. 리터는 원래 4 ^oC의 물 1 kg의 부피로 정의되어 정확히 1/1000 m³이 아니었고 주로 액체의 부피를 나타내는 데 쓰였지만, 1964년에 정확히 1/1000 m³로 정의하였고 요즘은 액체가 아닌 것의 부피를 나타내는 데도 흔히 쓰인다. 우리나라의 전통적인 부피의 단위로는 말, 되, 홉이 있는데, 1 말은 약 18.039 L이고, 되는 말의 1/10, 홉은 말의 1/100이다. 미국에서는 갤런(gallon, 1 gal = 3.785412 L)과 온스(ounce, 1 fl. oz. = 0.029574 L) 등을 쓴다. 영국에서도 갤런과 온스를 쓰지만 그 크기가 미국의 것과 다른 것을 유의해야 하고, 온스는 질량의 단위(1 oz = 28.35 g)로도 쓰기 때문에 부피의 단위일 때는 액량 온스(fluid ounce, fl. oz.)로 구분하기도 한다.

모양이 불규칙한 물체의 부피는 액체 속에 담그고 늘어난 액체의 부피를 측정하여 알 수 있다. 사각기둥이나 원뿔 등 모양이 단순한 입체의 부피는 적분법으로 구할 수 있다. 사각기둥이나 원기둥 같은 입체의 부피는 밑면의 넓이에 높이를 곱하여 얻는데, 여기서 높이란 밑면에 수직으로 내린 선분의 길이이다. 예를 들어 원기둥의 반지름이 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@이고 높이가 @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@이면, 그 부피는 @@NAMATH_INLINE@@\pi R^2 h@@NAMATH_INLINE@@이다. @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} ( \text{각기둥} \ \text{ 혹은} \ \text{ 원기둥의} \ \text{ 부피}) \ \ \ \ \ \text{ 밑넓이} \times \text{ 높이} \end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} ( \text{원기둥의} \ \text{ 부피} ) \ \ \ \ \ \pi R^2 h \end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@

그림 2는 사각기둥의 일종인 평행육면체인데, 각 변을 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf A@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf B@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf C@@NAMATH_INLINE@@로 나타내었다. 밑면의 넓이은 @@NAMATH_INLINE@@BC \sin \theta = |\mathbf B \times \mathbf C|@@NAMATH_INLINE@@이고 높이는 @@NAMATH_INLINE@@h = A \cos \phi = \mathbf A \cdot \hat{n}@@NAMATH_INLINE@@ (@@NAMATH_INLINE@@\hat{n}@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf B \times \mathbf C@@NAMATH_INLINE@@ 방향의 단위벡터)이므로, 부피는 @@NAMATH_INLINE@@ ABC \sin \theta \cos \phi = |(\mathbf A \cdot (\mathbf B \times \mathbf C)|@@NAMATH_INLINE@@, 즉 변에 대응하는 세 벡터의 삼중곱(triple product)으로 주어진다. 특별한 경우로서 직육면체(@@NAMATH_INLINE@@\theta = \phi =@@NAMATH_INLINE@@ 90^o)의 부피는 @@NAMATH_INLINE@@ABC@@NAMATH_INLINE@@이고, 정육면체(@@NAMATH_INLINE@@A = B = C@@NAMATH_INLINE@@)의 부피는 @@NAMATH_INLINE@@A^3@@NAMATH_INLINE@@이다. @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} ( \text{평행육면체의} \ \text{ 부피}) \ \ \ \ \ |(\mathbf A \cdot (\mathbf B \times \mathbf C)| \end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@

그림 2. 평행육면체의 부피는 변에 대응하는 세 벡터의 삼중곱(triple product)으로 주어진다. ()

각뿔이나 원뿔의 부피는 (1/3)@@NAMATH_INLINE@@\times@@NAMATH_INLINE@@(밑면의 넓이)@@NAMATH_INLINE@@\times@@NAMATH_INLINE@@높이로 주어진다. 뿔의 밑넓이를 @@NAMATH_INLINE@@S@@NAMATH_INLINE@@라고 하고 높이를 @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@라고 하면, 꼭지점에서 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@만큼 떨어진 곳의 단면적은 @@NAMATH_INLINE@@(z/h)^2 S@@NAMATH_INLINE@@이다. 따라서 부피는 @@NAMATH_INLINE@@\int_0^h (z/h)^2 dz = (1/3)Sh@@NAMATH_INLINE@@가 된다. 원뿔인 경우, @@NAMATH_INLINE@@S = \pi R^2@@NAMATH_INLINE@@이므로, 부피는 @@NAMATH_INLINE@@(1/3) \pi R^2 h@@NAMATH_INLINE@@이다. @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} ( \text{각뿔} \ \text{ 혹은} \ \text{ 원뿔의} \ \text{ 부피}) \ \ \ \ \ (1/3) \times \text{ 밑넓이} \times \text{ 높이} \end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} ( \text{원기둥의} \ \text{ 부피}) \ \ \ \ \ (1/3) \pi R^2 h \end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@

반지름이 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@인 구의 경우 구면극좌표계의 부피 요소 @@NAMATH_INLINE@@dV = r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi \,@@NAMATH_INLINE@@를 사용하면 부피를 쉽게 구할 수 있다: @@NAMATH_INLINE@@V = \int_0^{2 \pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi = (2 \pi)(2)(R^3 /3) = (4/3) \pi R^3@@NAMATH_INLINE@@. 다른 방법으로, 구를 원뿔의 꼭지점이 구의 중심이 되도록 배치한 많은 원뿔의 모임이라고 생각하면, 원뿔의 총 밑넓이는 구의 표면적인 @@NAMATH_INLINE@@4 \pi R^2@@NAMATH_INLINE@@이고 원뿔의 높이는 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@이므로, 구의 부피 @@NAMATH_INLINE@@(4/3) \pi R^3@@NAMATH_INLINE@@을 얻을 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} ( \text{구의} \ \text{ 부피}) \ \ \ \ \ (4/3) \pi R^3 \end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@

1. (검색창에 '부피'을 입력한다.)