직각좌표계

직각좌표계는 서로 수직으로 교차하는 직선 좌표축을 기준으로 점이나 벡터의 좌표를 표시하는 좌표계이다. 직교좌표계 혹은 데카르트좌표계(Cartesian coordinate system)라고도 하며, 가장 널리 쓰이는 좌표계이다.

일차원 직각좌표계는 그림 1과 같이 직선 좌표축과 원점 @@NAMATH_INLINE@@\rm O@@NAMATH_INLINE@@, 그리고 기준 길이 @@NAMATH_INLINE@@\bar{\rm OE} = d \,@@NAMATH_INLINE@@를 정하면 정의할 수 있는데, 보통 기준 길이는 1로 잡는다. 직선상의 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 위치는 @@NAMATH_INLINE@@\bar{\rm OP} = x \bar{\rm OE}@@NAMATH_INLINE@@인 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 값으로 표시하는데, 이 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@를 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 좌표라고 한다. 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@가 원점의 오른쪽에 있으면 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@는 양수, 왼쪽에 있으면 음수가 되도록 좌표축의 방향을 정한다.

그림 1. 1차원 좌표계

이차원 직각좌표계는 그림 2와 같이 원점 O에서 수직으로 교차하는 두 직선 좌표축을 그려 만드는데, 보통 수평축을 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축, 수직축을 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 축이라고 한다. 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@에서 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 축에 나란한 선분, 즉 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축에 수직인 선분을 그어 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축과 만나는 점이 원점으로부터 기준 길이의 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@배만큼 떨어져 있다면, 이 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@가 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 좌표이다. 비슷한 방법으로 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 좌표를 구하면, (@@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@)의 순서쌍이 이 이차원 직각좌표계에서의 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 좌표이다. @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 축과 나란하며 단위길이의 크기를 갖는 단위벡터를 각각 @@NAMATH_INLINE@@\hat x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\hat y@@NAMATH_INLINE@@라 하면, 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 위치는 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\vec{\rm OP} = x \hat{x} + y \hat{y}@@NAMATH_INLINE@@으로도 표기할 수 있다.

그림 2. 2차원 직각좌표계

삼차원 직각좌표계는 그림 3과 같이 원점을 지나며 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 축과 각각 수직인 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축을 설정하여 만든다. @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축의 방향을 잡을 수 있는 방법은 두 가지인데, 그 중 오른손 엄지를 펴고, 나머지 네 손가락을 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축 방향에서 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 축 방향으로 감아쥘 때 엄지의 방향을 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축의 방향으로 잡는 좌표계를 오른손 좌표계(right-handed coordinate system)라고 하고, 보통 이 오른손 좌표계를 사용한다. 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 좌표는, 이차원 좌표계에서와 비슷하게, 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@에서 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@축에 수직인 선분을 그어 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축과 만나는 점, 즉 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@를 통과하며 @@NAMATH_INLINE@@xy@@NAMATH_INLINE@@ 평면과 나란한 평면이 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축과 만나는 점으로부터 구한다. 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 삼차원 직각좌표계에서의 좌표는 (@@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@)이다. 각 좌표축 방향의 단위벡터를 @@NAMATH_INLINE@@\hat x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\hat y@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\hat z@@NAMATH_INLINE@@라 하면, 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 위치는 위치 벡터 @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{r} = x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z} @@NAMATH_DISPLAY@@으로 표시할 수 있다. 임의의 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@는 시작점을 원점과 일치시키고 위치 벡터와 같은 방법으로 각 좌표축에 투영된 길이 @@NAMATH_INLINE@@A_x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@A_y@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@A_z@@NAMATH_INLINE@@를 구하여, @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{A} = A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z} @@NAMATH_DISPLAY@@로 표시할 수 있다. @@NAMATH_INLINE@@A_x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@A_y@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@A_z@@NAMATH_INLINE@@를 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@의 스칼라 성분(scalar component), @@NAMATH_INLINE@@A_x \hat{x}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@A_y \hat{y}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@A_z \hat{z}@@NAMATH_INLINE@@를 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@의 벡터 성분(scalar component)이라고 한다. 이차원 직각좌표계는 삼차원 직각좌표계의 @@NAMATH_INLINE@@z=0@@NAMATH_INLINE@@인 특별한 경우이고, 일차원 좌표계는 @@NAMATH_INLINE@@z=y=0@@NAMATH_INLINE@@인 특별한 경우라고 생각할 수 있다.

그림 3. 3차원 직각좌표계 ()

직각좌표계에서의 속도 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}@@NAMATH_INLINE@@는 위치 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@를 시간에 대해 미분하여 구할 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{v} = \frac{d \mathbf{r}}{dt} = \frac{dx}{dt} \hat{x} + \frac{dy}{dt} \hat{y} + \frac{dz}{dt} \hat{z} + x \frac{d \hat{x}}{dt} + y \frac{d \hat{y}}{dt} + z \frac{d \hat{z}}{dt} = \frac{dx}{dt} \hat{x} + \frac{dy}{dt} \hat{y} + \frac{dz}{dt} \hat{z}. @@NAMATH_DISPLAY@@직각좌표계에서 단위벡터의 시간에 대한 미분 @@NAMATH_INLINE@@d \hat{x} / dt@@NAMATH_INLINE@@ 등은 0이어서 미분을 간편하게 할 수 있는데, 이는 직각좌표계의 장점이라 할 수 있다. 비슷한 방법으로 가속도 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{a}@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = \frac{d^2x}{dt^2} \hat{x} + \frac{d^2y}{dt^2} \hat{y} + \frac{d^2z}{dt^2} \hat{z} @@NAMATH_DISPLAY@@가 된다.