투영

투영은 어떤 벡터의 주어진 방향에의 성분을 구하는 것, 또는 어떤 파동함수(wavefuction)와 주어진 고유함수(eigenfunction)의 중첩(overlap)을 구하는 것 등을 가리킨다.

투영은 잘 정의된 물리학 용어라고 하기는 어렵지만, 대체로 다음 두 가지 맥락에서 많이 사용된다. 첫 번째 맥락은 어떤 벡터의 주어진 방향에의 성분을 구할 때이다. 그림 1과 같이 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@와 방향을 표시하는 단위벡터 @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}@@NAMATH_INLINE@@이 있다고 하자. @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}@@NAMATH_INLINE@@에 수직인 방향으로 평행광을 비추면 @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}@@NAMATH_INLINE@@을 포함하는 직선에 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@의 그림자가 생기는데, 이 그림자의 크기를 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@의 @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}@@NAMATH_INLINE@@ 방향 성분 @@NAMATH_INLINE@@A_n@@NAMATH_INLINE@@이라고 한다. 이 과정을 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@를 @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}@@NAMATH_INLINE@@ 방향에 투영하여 @@NAMATH_INLINE@@A_n@@NAMATH_INLINE@@을 구한다고 말한다.

그림 1. 벡터의 투영

그림 1에서 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@의 크기를 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}@@NAMATH_INLINE@@의 사잇각을 @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@라 하면, @@NAMATH_INLINE@@A_n = A \cos \theta@@NAMATH_INLINE@@이고, 이를 벡터의 스칼라 곱(scalar product)을 사용하여 @@NAMATH_DISPLAY@@A_n = \mathbf{A} \cdot \hat{n}@@NAMATH_DISPLAY@@으로 쓸 수 있다. 즉 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@를 @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}@@NAMATH_INLINE@@ 방향에 투영하는 것은 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}@@NAMATH_INLINE@@의 스칼라 곱을 취하는 것에 해당한다. 특히 @@NAMATH_INLINE@@\hat{n}@@NAMATH_INLINE@@이 직각좌표계의 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@-축, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@-축, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@-축 방향의 단위벡터인 @@NAMATH_INLINE@@\hat{x}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\hat{y}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\hat{z}@@NAMATH_INLINE@@라고 하면, 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}@@NAMATH_INLINE@@의 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 성분은 각각 @@NAMATH_DISPLAY@@A_x = \mathbf{A} \cdot \hat{x} ,@@NAMATH_DISPLAY@@ @@NAMATH_DISPLAY@@A_y = \mathbf{A} \cdot \hat{y} ,@@NAMATH_DISPLAY@@ @@NAMATH_DISPLAY@@A_z = \mathbf{A} \cdot \hat{z}@@NAMATH_DISPLAY@@ 로 주어진다.

물리학에서 투영이라는 용어가 많이 사용되는 두 번째 맥락은 양자역학에서 계의 파동함수와 그 계의 고유함수의 중첩을 구할 때이다. 어떤 양자역학 계에서 양자수(quantum number) @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@으로 표현되는 상태의 고유함수를 @@NAMATH_INLINE@@|\phi_n> = \phi_n(\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@이라고 하고, 파동함수를 @@NAMATH_INLINE@@|\psi > = \psi (\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@이라고 하면, 이 계가 @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@의 상태에 있을 확률 @@NAMATH_INLINE@@P_n@@NAMATH_INLINE@@은 @@NAMATH_DISPLAY@@P_n = | <\phi_n | \psi > |^2 = | \int \phi_n^* (\mathbf{r}) \psi (\mathbf{r}) d^3\mathbf{r} \, |^2 @@NAMATH_DISPLAY@@로 주어진다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@\phi_n^* (\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@은 @@NAMATH_INLINE@@\phi_n (\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@의 켤레복소수(complex conjugate)이다. 이 때 @@NAMATH_INLINE@@|\phi_n >@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@|\psi >@@NAMATH_INLINE@@의 중첩 적분(overlap integral) @@NAMATH_INLINE@@<\phi_n | \psi >@@NAMATH_INLINE@@을 구하는 것을 @@NAMATH_INLINE@@|\psi >@@NAMATH_INLINE@@를 @@NAMATH_INLINE@@|\phi_n >@@NAMATH_INLINE@@에 투영한다고 한다.