가속도

가속도는 속도가 어느 방향으로 얼마나 크게 변화하는가를 나타내는 벡터양으로, 속도의 시간에 대한 변화율로 정의된다.

속도는 단위 시간, 예컨대 1초 동안의 위치가 변화한 정도를 나타내고, 단위 시간 동안의 속도 변화량을 가속도라 부른다. 보통, 우리는 물체가 정지하거나 물체가 일정한 속도로 움직일 때, 등속도 운동이라 하며 물체의 속도가 시간에 따라 변할 때, 즉 물체가 가속도를 가질 때를 가속 운동이라 한다.

두 시각 @@NAMATH_INLINE@@t_1@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@t_2@@NAMATH_INLINE@@에서 물체의 속도를 각각 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v_1}@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v_2}@@NAMATH_INLINE@@라 할 때, 이 시간 동안 물체의 평균 가속도는 @@NAMATH_INLINE@@\Delta \mathbf{v}@@NAMATH_INLINE@@/@@NAMATH_INLINE@@\Delta t@@NAMATH_INLINE@@ (@@NAMATH_INLINE@@\Delta \mathbf{v}@@NAMATH_INLINE@@ @@NAMATH_INLINE@@ = \mathbf{v}_2 -\mathbf{v}_1@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\Delta t = t_2 -t_1@@NAMATH_INLINE@@)으로 주어지고, 두 시각이 일치하는 극한에서 얻는 물체의 순간 가속도는 시간에 대한 속도의 미분으로 주어진다. 즉, @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{a} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} \longrightarrow \mathbf{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta\mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{d \mathbf{v}}{d t}\,.@@NAMATH_DISPLAY@@ 이다. 이들 식에서 @@NAMATH_INLINE@@\Delta@@NAMATH_INLINE@@ 기호는 변화량을 의미한다.

그림 1. 가속도 이해를 위한 벡터 그림

속도는 위치의 시간에 대한 변화율이므로, 가속도는 위치의 시간에 대한 2차 변화율로 표시된다. 즉, @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{v} = \frac{d \mathbf{r}}{d t} \longrightarrow \mathbf{a} = \frac{d^2 \mathbf{r}}{d^2 t} \;.@@NAMATH_DISPLAY@@

1차원 직선상에서 운동하는 물체에 대해서는, 다음과 같이 보다 간단한 스칼라 식이 성립한다. @@NAMATH_DISPLAY@@v = \frac{d {x}}{d t} \longrightarrow a = \frac{d {v}}{d t} = \frac{d^2{x}}{d^2 t}\; .@@NAMATH_DISPLAY@@

가속도 a가 일정한 등가속도 1차원 직선운동의 경우, 두 시각@@NAMATH_INLINE@@t_1@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@t_2@@NAMATH_INLINE@@에서 물체의 위치와 속도를 각각@@NAMATH_INLINE@@x_1@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@x_2@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@v_1@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@v_2@@NAMATH_INLINE@@라 하면

다음과 같은 관계를 만족한다. @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} v_2 - v_1 &= \Delta v \\ &= a(t_2 - t_1) \\ &= a \Delta t, \\ \\ x_2 - x_1 &= \Delta x \\ &= \frac{1}{2} (v_1 + v_2)\Delta t \\ &= \frac{1}{2} (v^2_2 - v^2_1)\frac{\Delta t}{\Delta v} \\ &= \frac{1}{2a}(v^2_2 - v^2_1)\; . \end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@

뉴턴의 제2법칙에 의하면, 관성계에서 물체가 갖는 가속도는 물체에 가해지는 총 힘 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{F}@@NAMATH_INLINE@@ 에 비례하고, 그 비례상수는 물체의 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@의 역수이다. 이것을 식으로 표시하면 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{a} = \frac{1}{m} \mathbf{F}@@NAMATH_DISPLAY@@물체의 운동의 변화는 물체에 작용하는 힘에 의해 결정된다. 즉, 물체에 힘이 가해지면 물체에 가속도가 생기고 물체의 운동에 변화가 생긴다. 뉴턴의 제2법칙은 '힘과 가속도의 법칙'이라고도 부른다. 특히, 위 식은 등호의 좌우가 모두 방향과 크기를 갖는 벡터 식이다. 따라서 힘의 방향과 가속도의 방향은 서로 같다.

그림 2. 원운동

원운동을 기술하는 데는 각도, 각속도와 더불어 각가속도를 사용하는 것이 편리하다. 반지름이 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@인 원주 위에서 운동하는 물체의 위치는, 비록 2차원 @@NAMATH_INLINE@@xy@@NAMATH_INLINE@@-평면에 놓여 있지만, @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@-축으로부터 각도 하나 만으로 충분히 나타낼 수 있다. 물체가 원주 위를 도는 방향은 시계 방향과 시계 반대 방향의 두 가지가 있는 데, 이를 드라이버로 나사를 돌릴 때 나사가 진행하는 방향으로 정하면, 시계 반대 방향으로 도는 물체의 각도 방향은 @@NAMATH_INLINE@@+z@@NAMATH_INLINE@@-축 방향이다.

각도를 @@NAMATH_INLINE@@ \theta @@NAMATH_INLINE@@로 표시하면, 각속도와 각가속도는 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\omega = \frac{d \theta}{dt}, \quad \alpha = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^2 \theta}{dt^2}@@NAMATH_DISPLAY@@

그러나, 각가속도는 가속도처럼 물체에 가해진 힘에 의해 결정되는 것이 아니라, 대신 돌림힘(토크)이라는 물리량에 의해 정해진다.