돌림힘

돌림힘은 물체의 회전운동 변화를 야기시키는 물리량이다. 토크라고도 부른다.

아래 그림 1과 같이 평면 상에서 직선 위를 일정한 속도 @@NAMATH_INLINE@@{\vec v}@@NAMATH_INLINE@@로 움직이는 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@인 물체의 두 속도 성분 @@NAMATH_INLINE@@v_x@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@v_y@@NAMATH_INLINE@@는

@@NAMATH_DISPLAY@@v_x=v\cos \theta , \;\;\; v_y=v\sin \theta @@NAMATH_DISPLAY@@

로 주어지고, 두 가속도 성분 @@NAMATH_INLINE@@a_x@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@a_y@@NAMATH_INLINE@@는

@@NAMATH_DISPLAY@@a_x={{dv_x}\over{dt}}=0 , \;\;\; a_y={{dv_y}\over{dt}}=0 @@NAMATH_DISPLAY@@

로 주어져, 뉴턴의 법칙 @@NAMATH_INLINE@@{\vec F}=m{\vec a}@@NAMATH_INLINE@@에 의하여 이 물체에 작용하는 힘은 없고, 이 경우 물체의 운동에 변화가 없다고 말한다.

그림 1. 직선운동

이제, 그림 2와 같이 평면 상에서 반지름 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@인 원주 위를 일정한 속력 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 회전하는 물체를 생각해 보자. 그림 1의 경우와 달리, 그림 2의 경우에는 물체의 속도가 원주 위를 한바퀴 돌면서 계속 변하고, 물체는 원운동을 되풀이한다. 따라서 이 경우, 물체에 힘이 작용하고 있음은 명백하다. 물체의 원운동을 효율적으로 기술하기 위해서 그림 2에 나타나 있는 각도 @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@를 도입하면, 그림 2의 순간에 물체의 두 위치 성분 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@는

@@NAMATH_DISPLAY@@x=R\cos \theta , \;\;\; y=R\sin \theta @@NAMATH_DISPLAY@@

로 주어진다. 물체가 일정한 속력 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 회전하고 있으므로 각도의 시간에 대한 변화율, 즉 각속도 @@NAMATH_INLINE@@\omega =d\theta /dt@@NAMATH_INLINE@@가 시간에 무관하게 일정하다. 따라서 물체의 두 속도 성분과 두 가속도 성분은

@@NAMATH_DISPLAY@@v_x=-R\omega \sin \theta , \;\;\; v_y=R\omega \cos \theta ,@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@a_x=-R\omega^2 \cos \theta =-\omega^2x, \;\;\; a_y=-R\omega^2 \sin \theta =-\omega^2y@@NAMATH_DISPLAY@@

로 주어진다. 이로부터 다음과 같이 시간에 따라 변하지 않는 두 가지 조합을 찾을 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@xv_y-yv_x=R^2\omega \cos^2\theta+R^2\omega \sin^2\theta=R^2\omega, \;\;\; xa_y-ya_x=0.@@NAMATH_DISPLAY@@

이 두 조합에 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@을 곱하여

@@NAMATH_DISPLAY@@l_z\equiv xmv_y-ymv_x \equiv xp_y-yp_x , \;\;\; \tau_z\equiv xma_y-yma_x \equiv xF_y-yF_x @@NAMATH_DISPLAY@@

를 얻고, 같은 방법으로 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 성분을 구하여 두 벡터, 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@{\vec l}@@NAMATH_INLINE@@과 돌림힘 @@NAMATH_INLINE@@{\vec \tau}@@NAMATH_INLINE@@를 다음과 같이 정의한다.

@@NAMATH_DISPLAY@@{\vec l}=(yp_z-zp_y, zp_x-xp_z, xp_y-yp_x), \;\;\; {\vec \tau}=(yF_z-zF_y, zF_x-xF_z, xF_y-yF_x).@@NAMATH_DISPLAY@@

이 두 벡터의 관계식을 다음과 같이 얻을 수 있고,

@@NAMATH_DISPLAY@@{d\over{dt}}{\vec l}=\tau @@NAMATH_DISPLAY@@

뉴턴의 법칙 @@NAMATH_INLINE@@d{\vec p}/dt={\vec F}@@NAMATH_INLINE@@와 똑같이 유효한 법칙이다. 즉, 물체에 돌림힘이 작용하면 각운동량이 변하고, 따라서 물체의 회전운동이 변한다.

그림 2. 회전운동