좌표계

좌표계는 공간상의 한 점의 위치를 표시하는 숫자들의 순서쌍인 좌표를 정하기 위한 체계로서, 원점과 기준 길이, 기준 축이나 기준선들의 집합을 통틀어 이르는 말이다. 서로 수직인 직선을 기준 축으로 갖는 직각좌표계가 가장 널리 쓰이고, 그 밖에 곡선 좌표계들이 있다.

직선 상의 한 점의 위치를 표시하려면, 원점(origin)이라는 기준점을 정하고, 그 기준점으로부터 기준 길이의 몇 배만큼 떨어져 있는지를 표시하면 된다. 예를 들어 그림 1의 수평 직선 위에 있는 한 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 위치를 표시해 보자. 먼저 원점 @@NAMATH_INLINE@@\rm O@@NAMATH_INLINE@@를 정하고 기준 길이 @@NAMATH_INLINE@@\bar{\rm OE} = d \,@@NAMATH_INLINE@@를 정하며, 보통 직선 위에 기준 길이 간격의 눈금을 매긴다. 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 위치는 @@NAMATH_INLINE@@\bar{\rm OP} = x \bar{\rm OE}@@NAMATH_INLINE@@인 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 값으로 표시할 수 있다. 일반적으로 기준 길이는 1로 정하여 단위길이가 되게 하며, 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@가 원점의 오른쪽에 있으면 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@는 양수, 왼쪽에 있으면 음수가 되도록 직선의 방향을 정한다. 이 때, 이 직선과 원점 @@NAMATH_INLINE@@\rm O@@NAMATH_INLINE@@ 및 단위길이 @@NAMATH_INLINE@@\bar{\rm OE}@@NAMATH_INLINE@@가 일차원 직선 좌표계를 이루게 되고, 직선은 이 직선 좌표계에서의 좌표축, @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@는 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 좌표가 된다.

그림 1. 1차원 좌표계

이차원 평면상의 한 점의 위치를 표시하려면, 그림 2와 같이 원점 O에서 수직으로 교차하는 두 직선 좌표축을 그려 직각좌표계를 만든다. 보통 수평축을 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 좌표축, 수직축을 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 좌표축이라고 한다. 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@에서 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 축에 나란한 선분, 즉 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축에 수직인 선분을 그어 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축과 만나는 점이 원점으로부터 기준 길이의 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@배만큼 떨어져 있다면, 이 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@가 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 좌표이다. 비슷한 방법으로 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 좌표를 구하면, (@@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@)의 순서쌍이 이 이차원 직각좌표계에서의 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 좌표이다. @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 축과 나란하며 단위길이의 크기를 갖는 단위벡터를 각각 @@NAMATH_INLINE@@\hat x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\hat y@@NAMATH_INLINE@@라 하면, 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 위치는 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\vec{\rm OP} = x \hat{x} + y \hat{y}@@NAMATH_INLINE@@으로도 표기할 수 있다.

그림 2. 2차원 직각좌표계

삼차원 직각좌표계는 그림 3과 같이 원점을 지나며 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 축과 각각 수직인 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축을 설정하여 만든다. @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축의 방향을 잡을 수 있는 방법은 두 가지인데, 그 중 오른손 엄지를 펴고, 나머지 네 손가락을 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 축 방향에서 @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@ 축 방향으로 감아쥘 때 엄지의 방향을 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축의 방향으로 잡는 좌표계를 오른손 좌표계(right-handed coordinate system)라고 하고, 보통 이 오른손 좌표계를 사용한다. 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 좌표는, 이차원 좌표계에서와 비슷하게, 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@에서 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@축에 수직인 선분을 그어 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축과 만나는 점, 즉 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@를 통과하며 @@NAMATH_INLINE@@xy@@NAMATH_INLINE@@ 평면과 나란한 평면이 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축과 만나는 점으로부터 구한다. 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 삼차원 직각좌표계에서의 좌표는 (@@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@)이다.

그림 3. 3차원 직각좌표계 ()

직각좌표계에서는 좌표를 정하는 기준선들이 직교하는 직선들이다. 좌표를 정하는 기준선들 중 일부가 곡선인 좌표계를 곡선 좌표계(curvilinear coordinate system)이라고 한다. 하나의 예로서 이차원 극좌표계(polar coordinate system)에서는 원점을 중심으로 하는 원과 원점을 통과하는 반직선을 기준선으로 하여 좌표를 정한다. 그림 4에서 원점을 중심으로 하고 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@를 통과하는 원의 반지름을 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@, 원점과 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@를 통과하는 반직선이 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 좌표축과 이루는 각을 @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@라고 하면, 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@의 평면극좌표계에서의 좌표는 (@@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@)로 주어진다. 그림 4로부터 이차원 직각좌표 (@@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@)와 극좌표 (@@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@)는 다음 식으로 상호 변환됨을 쉽게 알 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@x = r \cos \theta; \ \ y = r \sin \theta , \qquad (1)@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@r = \sqrt{x^2 + y^2}; \ \ \theta = \arctan (y/x). \qquad (2)@@NAMATH_DISPLAY@@식 (2)에서 @@NAMATH_INLINE@@0 \leq \theta < 2 \pi@@NAMATH_INLINE@@이며, 점 @@NAMATH_INLINE@@\rm P@@NAMATH_INLINE@@가 어느 사분면에 있는지를 보고 @@NAMATH_INLINE@@\arctan@@NAMATH_INLINE@@ 함수의 가능한 두 값 중 적당한 값을 취해야 한다.

그림 4. 2차원 극좌표계