원통좌표계

원통좌표계는 점 @@NAMATH_INLINE@@P@@NAMATH_INLINE@@의 위치를, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축을 중심축으로 하고 옆면이 점 @@NAMATH_INLINE@@P@@NAMATH_INLINE@@를 지나는 원통의 반지름 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 축과 점 @@NAMATH_INLINE@@P@@NAMATH_INLINE@@를 포함하는 평면이 @@NAMATH_INLINE@@xz@@NAMATH_INLINE@@ 평면과 이루는 각 @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@, 그리고 @@NAMATH_INLINE@@xy@@NAMATH_INLINE@@ 평면과 나란하고 점 @@NAMATH_INLINE@@P@@NAMATH_INLINE@@를 지나는 평면과 @@NAMATH_INLINE@@xy@@NAMATH_INLINE@@ 평면 사이의 거리 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@로 표시하는 좌표계이다.

그림 1은 원통좌표계의 좌표 (@@NAMATH_INLINE@@\rho@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@)를 보여주고 있다. 원통좌표계의 @@NAMATH_INLINE@@\rho@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@ 좌표는 (평면)극좌표계에서와 같고, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 좌표는 직각좌표계에서와 같다. 이 그림으로부터 원통좌표계의 좌표 (@@NAMATH_INLINE@@\rho@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@)와 직각좌표계의 좌표 (@@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@y@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@)의 관계를 다음과 같이 구할 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} x &= \rho \cos \theta , \\ y &= \rho \sin \theta , \\ z &= z . \end{align} \qquad(1) @@NAMATH_DISPLAY@@

이의 역변환 관계는 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} \rho &= \sqrt{x^2 + y^2} , \\ \theta &= \arctan (y/x) , \\ z &= z . \end{align} \qquad(2) @@NAMATH_DISPLAY@@식 (2)에서 @@NAMATH_INLINE@@0 \leq \theta < 2 \pi@@NAMATH_INLINE@@이며 @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@\arctan@@NAMATH_INLINE@@의 가능한 두 값 중 적절한 것을 택해야 한다.

그림 1. 원통좌표계(θ를 φ로 표시하기도 한다.)

원통좌표계에서의 단위벡터 @@NAMATH_INLINE@@\hat{e}_{\rho}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\hat{e}_{\theta}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\hat{e}_{z}@@NAMATH_INLINE@@는 각각 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@가 증가하는 방향의 단위벡터인데, 그림 2에 그려져 있다. 이들을 직각좌표계의 단위벡터 @@NAMATH_INLINE@@\hat{x}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\hat{y}@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@\hat{z}@@NAMATH_INLINE@@를 사용하여 표현하면 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} \hat{e}_{r} &= \hat{x} \cos \theta + \hat{y} \sin \theta , \\ \hat{e}_{\theta} &= - \hat{x} \sin \theta + \hat{y} \cos \theta , \\ \hat{e}_{z} &= \hat{z} . \end{align} \qquad (3) @@NAMATH_DISPLAY@@

식 (3)를 시간 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@에 대해 미분하고 다시 식 (3)을 이용하여 정리하면 다음과 같다. @@NAMATH_DISPLAY@@\begin{align} \frac{d\hat{e}_{\rho}}{dt} &= \hat{e}_{\theta } \frac{d\theta}{dt} , \\ \frac{d\hat{e}_{\theta}}{dt} &= - \hat{e}_{\rho} \frac{d\theta}{dt} , \\ \frac{d\hat{e}_{z}}{dt} &= 0 . \end{align}@@NAMATH_DISPLAY@@

그림 2. 원통좌표계의 단위벡터

원통좌표계에서 위치 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{r}@@NAMATH_INLINE@@은, 그림 2에서 알 수 있듯이, 다음과 같이 표현된다. @@NAMATH_DISPLAY@@ \mathbf{r} = \rho \hat{e}_{\rho} + z \hat{e}_{z}. @@NAMATH_DISPLAY@@

식 (3)을 이용하여 위치 벡터를 미분하면 다음과 같은 속도 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}@@NAMATH_INLINE@@와 가속도 벡터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{a}@@NAMATH_INLINE@@를 얻을 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d\rho}{dt} \hat{e}_{\rho} + \rho \frac{d\hat{e}_{\rho}}{dt} + \frac{dz}{dt} \hat{e}_{z}= \hat{e}_{\rho} \frac{d\rho}{dt} + \hat{e}_{\theta} \rho \frac{d\theta}{dt} + \hat{e}_{z} \frac{dz}{dt} , @@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@ \mathbf{a} = \hat{e}_{\rho} \left[\frac{d^2 \rho}{dt^2} - \rho \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 \right] + \hat{e}_{\theta} \left[ \rho \frac{d^2\theta}{dt^2} + 2 \frac{d\rho}{dt} \frac{d\theta}{dt} \right] + \hat{e}_{z} \frac{d^2 z}{dt^2} . @@NAMATH_DISPLAY@@

한편 원통좌표계에서 스칼라 함수 @@NAMATH_INLINE@@f(\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@과 벡터 함수 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{A}(\mathbf{r})@@NAMATH_INLINE@@의 공간에 관한 미분들 중 중요한 것들은 다음과 같이 주어진다.