앙페르의 법칙

전류가 흐르는 도선의 주위에는 자기장이 생기는데, 이 자기장과 전류 사이의 관계를 표현하는 식이 앙페르의 법칙이다. 자기장을 생성하는 전류를 @@NAMATH_INLINE@@i@@NAMATH_INLINE@@라고 하고, 이 전류로 인해 생성된 자기장 벡터를 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf B@@NAMATH_INLINE@@라고 할 때, 전류가 흐르는 도선을 내부에 포함하는 임의의 닫힌 경로를 잡고 이 닫힌 경로를 따라서 자기장을 선적분하면 그 값은 전류 @@NAMATH_INLINE@@i@@NAMATH_INLINE@@에 비례하며, 그 비례상수는 국제단위계에서 진공의 투자율 @@NAMATH_INLINE@@\mu_0@@NAMATH_INLINE@@로 주어진다. 이것을 앙페르의 법칙이라고 한다. 임의의 닫힌 경로를 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@라고 하고 앙페르의 법칙을 수식으로 나타내면 다음과 같다.

@@NAMATH_DISPLAY@@\oint_{C} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 i .@@NAMATH_DISPLAY@@진공의 투자율은 @@NAMATH_INLINE@@ \mu_0@@NAMATH_INLINE@@ = 4@@NAMATH_INLINE@@\pi@@NAMATH_INLINE@@ x 10^-7 T·m/A 이다. 앙페르의 법칙을 적용하기 위해 채택하는 닫힌 경로 @@NAMATH_INLINE@@C@@NAMATH_INLINE@@를 앙페르 고리(Amperian loop)라고 한다. 앙페르 고리에 대한 경로 적분의 방향은 오른나사 법칙에 따른다. 즉, 전류의 방향을 오른손 엄지로 가리킨 상태에서 나머지 네 손가락으로 도선을 감아쥘 때 네 손가락이 가리키는 방향이 경로 적분의 방향이다.

전류가 흐르는 도선 주위에 형성되는 자기장은 비오·사바르의 법칙으로 구할 수 있다. 이렇게 비오·사바르의 법칙으로 주어지는 자기장을 공간상의 임의의 경로를 따라서 선적분한 식이 앙페르의 법칙이다. 많은 경우에 앙페르의 법칙을 이용하면 비오·사바르의 법칙을 직접 적분하기 위해 필요한 복잡한 계산 없이 쉽게 자기장의 세기를 구할 수 있다.

예를 들어 일정한 전류 @@NAMATH_INLINE@@i@@NAMATH_INLINE@@가 흐르는 무한히 긴 직선 도선에서 거리 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@만큼 떨어진 지점에서의 자기장 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{B}@@NAMATH_INLINE@@을 구하기 위해 앙페르의 법칙을 이용해 보자. 전류가 흐르는 도선과 수직한 평면 상에 도선을 원의 중심으로 하는 반지름 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@의 원을 앙페르 고리로 잡고 앙페르의 법칙을 적용하면 @@NAMATH_DISPLAY@@\oint_{C} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}= 2 \pi r B = \mu_0 i@@NAMATH_DISPLAY@@이고, 이로부터 자기장의 크기는 @@NAMATH_DISPLAY@@B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r} @@NAMATH_DISPLAY@@ 임을 알 수 있다. 이 때 자기장의 방향은 오른나사 법칙에 따른다. 즉, 그림 1과 같이, 전류의 방향으로 오른손 엄지손가락을 펴고 나머지 네 손가락을 감아 쥘 때 나머지 네 손가락의 방향이 자기장의 방향이다.

그림 1. 오른나사 법칙을 이용한 전류와 자기장의 방향

한편 적분식으로 표현된 앙페르의 법칙에 스토크스 정리(Stokes' theorem)을 적용하면 다음과 같이 미분식으로 표현된 앙페르의 법칙을 얻을 수 있다. @@NAMATH_DISPLAY@@\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{J} .@@NAMATH_DISPLAY@@여기서, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{J}@@NAMATH_INLINE@@는 전류밀도로서 단위 면적을 통해 흐르는 전류를 나타내는 벡터이다. 이 식은 4개의 맥스웰 방정식 가운데 하나이다.