킬로그램

[ Kilogram, Kilogramme ]

킬로그램은 질량의 단위로 국제단위계의 기본단위이며, 기호로 kg을 사용한다.

킬로그램(kg)은 국제단위계의 기본단위 중 유일하게 국제단위계의 접두어가 붙은 단위인데, 10³을 뜻하는 접두어 '킬로(kilo, k)'가 붙어 있다. 접두어가 없는 그램(gram, g)은 1795년 프랑스에서 녹는 점에서의 순수한 물 1 cm³의 질량으로 정하였다. 1799년에는 초기 킬로그램원기가 제작되어 이것의 질량을 킬로그램으로 정하였다.

1875년의 미터 협약(Meter Convention, Convention du Mètre)에 의해 설립된 국제도량형총회(General Conference on Weights and Measures, Conférence générale des poids et mesures, CGPM)는 1889년의 제1차 총회에서 킬로그램을 국제 킬로그램원기(International Prototype of the Kilogram, IPK)의 질량으로 정의하였다.

킬로그램원기는 질량비로 백금 90%와 이리듐 10%의 합금으로 만들어지고 지름과 높이가 각각 39 mm인 원통이다. 원본은 파리의 국제도량형국(International Bureau of Weights and Measures, Bureau International des Poids et Mesures, BIPM)에 보관되어 있고, 복사본이 세계 여러 나라에 배분되어 있다. 그림 1은 미국의 National Institute of Science and Technology(NIST)가 보유하고 있는 킬로그램원기의 사진인데, 그림에서처럼 보통 이중의 유리병 안에 보관한다. 1889년 질량의 표준이 된 후, 킬로그램원기의 표면이 오염되어 질량이 1년에 약 1 μg 정도 증가하는 문제가 발생하여 정해진 방법으로 세척한 직후에 사용하도록 정하였다.

그림 1. 킬로그램원기 ()

킬로그램원기는 인공물인데다가 조심스럽게 보관하고 사용해도 그 질량이 약간씩 변하는 것으로 밝혀져서, 킬로그램을 좀더 안정적인 양을 기준으로 정의하여야 한다는 논의가 꾸준히 있어 왔다. 마침내 2018년 11월 13-16일에 열린 제26차 CGPM에서 킬로그램을 불변량으로 생각되는 플랑크상수를 사용하여 재정의하였다. 이제 킬로그램은 플랑크상수 @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@를 J s 단위로 나타낼 때 6.626 070 15 x 10^-34이 되도록 정의된다. 여기서 J s는 kg m² s^-1과 같은 단위이다. 킬로그램의 이 정의로 플랑크상수는 6.626 070 15 x 10^-34 J s로 고정되었다.

플랑크상수를 이용해 정의된 킬로그램은 실제 키블저울(Kibble balance)로 구현된다. 키블저울의 첫 번째 측정인 무게 측정 모드(weighing mode)에서는 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@에 작용하는 중력과 자기장 @@NAMATH_INLINE@@B@@NAMATH_INLINE@@ 안에서 전류 @@NAMATH_INLINE@@i@@NAMATH_INLINE@@가 흐른 길이 @@NAMATH_INLINE@@l@@NAMATH_INLINE@@인 코일에 작용하는 자기력이 평형을 이루도록 한다.

@@NAMATH_DISPLAY@@mg = Bli \qquad (1)@@NAMATH_DISPLAY@@여기서 @@NAMATH_INLINE@@g@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@이 있는 곳의 중력가속도이다. 두 번째 측정인 속도 모드(velocity mode, moving mode)에서는 첫 번째 측정에 사용된 코일을 같은 자기장 안에서 일정한 속력 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 움직일 때 코일의 양끝에 유도되는 유도기전력 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@를 측정한다.

@@NAMATH_DISPLAY@@V = Blv \qquad (2)@@NAMATH_DISPLAY@@식 (1)과 (2)에서 정확하게 값을 정하기 어려운 @@NAMATH_INLINE@@Bl@@NAMATH_INLINE@@을 소거하면

@@NAMATH_DISPLAY@@mgv = Vi \qquad (3)@@NAMATH_DISPLAY@@를 얻는다. 식 (3)의 왼쪽은 역학적 일률이고 오른쪽은 전기적 일률이라서 키블저울은 와트저울(watt balance)이라고도 한다. 식 (3)은

@@NAMATH_DISPLAY@@mgv = \frac{V^2}{R} \qquad (4)@@NAMATH_DISPLAY@@로 다시 쓸 수 있는데, @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@은 코일의 저항이다. @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@는 조지프슨 접합(Josephson junction)을 이용하여 충분히 정확히, 즉 불확도가 10^-8 이하로, 측정할 수 있는데, @@NAMATH_INLINE@@n@@NAMATH_INLINE@@개의 직렬연결된 조지프슨 접합에 진동수 @@NAMATH_INLINE@@f@@NAMATH_INLINE@@인 마이크로파를 조사해 주면 접합 양단의 전압 @@NAMATH_INLINE@@V@@NAMATH_INLINE@@는 @@NAMATH_DISPLAY@@V = n \frac{hf}{2e} \qquad (5)@@NAMATH_DISPLAY@@로 주어지는데, 여기서 @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@는 플랑크상수, @@NAMATH_INLINE@@e@@NAMATH_INLINE@@는 기본전하량이다. 또한 저항 @@NAMATH_INLINE@@R@@NAMATH_INLINE@@은 양자 홀효과(quantum Hall effect)를 이용하여 충분히 정확히 측정할 수 있어서

@@NAMATH_DISPLAY@@R = \frac{1}{p} \frac{h}{e^2} \qquad (6)@@NAMATH_DISPLAY@@가 되는데, 정수 @@NAMATH_INLINE@@p@@NAMATH_INLINE@@는 채움인자(filling factor)이다. 식 (5)와 (6)을 식 (4)에 대입하여 정리하면

@@NAMATH_DISPLAY@@m = \frac{p n^2}{4} \frac{f^2}{gv} h \qquad (7)@@NAMATH_DISPLAY@@가 되어, 플랑크상수 @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@로부터 질량 @@NAMATH_INLINE@@m@@NAMATH_INLINE@@을 얻을 수 있다. 물론 @@NAMATH_INLINE@@g@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@도 충분히 정확히 측정해야 하는데 마이컬슨 간섭계(Michelson interferometer)를 사용하여 측정한다.

그림 2. 미국의 NIST-4 키블저울 ()

그림 2는 미국 NIST에 설치되어 있는 NIST-4 키블저울의 사진이다. 키블저울의 원리와 사용법은 아래 동영상에 볼 수 있다.