평균값의 정리

함수 f(x)가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하면 ｛f(b)-f(a)｝/(b-a)=f'(c)가 되게 하는 c가 (a,b)사이에 적어도 하나 이상 존재한다. 이를 평균값의 정리(Mean Value Theorem, MVT)라 한다. 평균값의 정리는 선형적으로 함숫값을 근사시키거나 접선의 기울기를 구하는 등 미적분의 기본적인 개념과 증명에 매우 중요하게 활용되는 정리이다. 닫힌 구간인 [a,b]에서 연속이고 열린 구간인 (a,b)에서 미분가능한 함수 f(x)가 있다고 하자.

x=a일 때의 함수 f(x)의 그래프 위의 점과 x=b일 때의 그래프 위의 점을 이어 직선을 그렸을 때 이 직선의 기울기는 ｛f(b)-f(a)｝/(b-a)이다.

이때 열린 구간인 (a,b)에 속하는, 즉 x=a와 x=b 사이에서 앞서 그린 직선과 동일한 기울기를 가진 접선을 그릴 수 있는 점 (c,f(c))를 찾을 수 있다. 다시 말해 점 (a,f(a))와 (b,f(b))를 연결한 직선과 평행인 접선을 그릴 수 있는 점 (c,f(c))를 (a,b)구간에서 찾을 수 있다. 또한 이 접선의 기울기는 점 c에서의 미분계수이므로 f'(c)가 되므로 ｛f(b)-f(a)｝/(b-a)=f'(c)이다.

이러한 접점 c는 반드시 하나만 존재하는 것은 아니다. 다음의 그래프의 경우 a와 b 사이에 직선과 평행한 접선을 그릴 수 있는 접점은 다음과 같이 c1,c2,c3 로 세 개의 점이 존재한다.

평균값의 정리 증명

평균값의 정리를 증명하기 위해서 롤의 정리를 이용한다. [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능한 함수 f(x)에서 점 (a,f(a))와 점 (b,f(b))를 지나는 직선의 방정식을 y=k(x)라고 하자.

이 직선의 기울기를 m이라 하면 m=｛f(b)-f(a)｝/(b-a)이므로 y=k(x)의 직선의 방정식은 y=k(x)=m(x-a)+f(a)가 된다. 또한 y=k(x)를 미분하면 k'(x)=m이다. 여기서 함수 F(x)를 F(x)=f(x)−k(x)라 두면, 이 함수는 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하며 F(a)=0, F(b)=0이므로, 롤의 정리에 의하여 F′(c)=f′(c)−k′(c)=0인 c (a  c  b)가 적어도 하나 존재한다.

그렇다면 f'(c)-k'(c)=0이므로 f'(c)=k'(c)이다. 위에서 밝혔듯이 k'(x)는 항상 k'(x)=m이므로 여기에 c를 대입해도 k′(c)=m=｛f(b)-f(a)｝/(b-a)이며 f'(c)=k'(c)이므로 f′(c)=｛f(b)-f(a)｝/(b-a)이다. 그러므로 f'(c)=｛f(b)-f(a)｝/(b-a)를 만족하는 c (acb)가 적어도 하나 이상 존재한다.

평균값의 정리와 변화율

평균값의 정리에서 c의 조건이 되는 식 f'(c)=｛f(b)-f(a)｝/(b-a)에서 b>a이므로 b를 a보다 h만큼 큰 b=a+h로 두면 다음과 같이 정리할 수 있다. 

f'(c)=｛f(b)-f(a)｝/(b-a)= ｛f(a+h)-f(a)｝/(a+h-a)=｛f(a+h)-f(a)｝/h

이는 미분의 기초개념이 되는 평균변화율이나 순간변화율의 식과 동일한 것을 알 수 있는데, 실제로 평균값의 정리는 선형적으로 함숫값을 근사시키거나 접선의 기울기를 구하는 등의 미적분의 기본적인 개념 도입과 증명에 매우 중요하게 활용되는 정리이다.