정적분

요약 주어진 함수 f(x)의 특정 구간 [a,b]에서의 적분f(x)dx을 구하여 도형의 넓이나 부피를 계산하는 데 쓰이는 적분 방식.

적분의 방법은 크게 부정적분과 정적분으로 나눠진다. 부정적분은 적분할 함수와 적분변수만이 주어져서 그에 대한 피적분 함수를 구하고 적분상수를 더하는 방식으로 계산되므로 어떤 함수를 적분하면 결과 또한 (피적분)함수가 된다. 반면 정적분은 적분 구간 [a,b]가 주어져 주어진 함수의 피적분 함수에 구간의 양 끝값을 대입하여 상수(상황에 따라 변수가 포함될 수 있다), 즉 특정한 값을 얻게되는 것이 특징이다. 정적분은 주어진 함수의 그래프가 그래프의 축과 이루고 있는 영역의 넓이나 부피 등을 구할 때 주로 사용되는데 원래는 복잡한 구분구적법을 통해 계산해야 할 내용이 정적분을 이용했을 때 훨씬 쉽게 계산 가능해지므로 함수의 그래프를 이용한 응용이나 물리학, 공학, 경제학 등에서 매우 자주 사용된다.

함수의 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 예를 통하여 정확한 정적분의 정의와 계산을 살펴보자. 이차함수 f(x)=x²의 그래프와 x축, 그리고 직선 x=2로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하려고 한다. 이 넓이를 구분구적법으로 구하면 이다. 그러나 매번 이렇게 곡선에 둘러싸인 영역의 넓이를 구분구적법으로 구하기에는 계산이 복잡하다. 이를 적분기호로 간단히 나타낼 수 있는데, x=0부터 x=2까지 구간에서의 함수 f(x)=x²의 그래프 아래 넓이를 구하는 적분식은 x² dx 라 표기한다. 즉, =x² dx 이다.

이와같이 적분 구간이 정해져 그 값을 계산할 수 있는 적분 형태를 정적분이라 한다. 일반적으로 x=a에서 x=b까지의 구간에서의 함수 f(x)를 x에 대해 적분하는 정적분은   로 표기하며 f(x)의 역도함수(원시함수)를 F(x)라 할 때, =F(b)-F(a)로 계산한다.

위의 예로 제시된 x² dx를 계산해보면 다음과 같다. x²의 역도함수 F(x)는 F(x)=⅓·x³ 이므로 x² dx = F(2)-F(0) = ⅓(2)³-⅓(0)³ = 8/3이 주어진 영역의 넓이가 된다.

정적분이 곡선 아래 넓이를 구하는 데 사용되기는 하지만 정적분의 값이 항상 반드시 곡선 아래의 넓이와 일치하는 것은 아니다. 만약 함수 g(x)=-x²의 곡선과 x축, 직선 x=2로 둘러싸인 영역의 넓이를 구한다고 가정해보자. 이때도 f(x)=x²의 경우와 동일하게 x=0부터 x=2까지의 구간의 정적분 -x² dx 을 계산해보면 부호만 바뀐 -8/3의 값을 얻게 된다. 정적분의 값은 함수의 곡선이 x축보다 위에 있는 경우 양의 값을 갖지만 x축보다 아래에 있는 경우 음의 값을 갖는다. 그러나 그 절댓값은 여전히 해당 영역의 넓이와 동일하다.

다음과 같은 함수 h(x)의 곡선이 h(x)dx=1, h(x)=-3 의 값을 가진다고 가정해보자. 함수의 곡선 아래의 넓이는 x=a부터 x=0까지의 구간에서는 1이 되고, x=0부터 x=b까지의 구간에서는 3이 되지만 곡선의 위치가 x축보다 아래쪽에 있으므로 정적분의 계산값은 음의 값을 가진다. x=a부터 x=b까지를 적분한 h(x)dx 는 h(x)dx =1+(-3) = -2 가 되므로 사실상 함수의 곡선과 x축이 이루는 영역의 넓이와 다른 값이 되어버린다. 그러므로 양의 값이나 음의 값에 관계 없이 함수의 곡선이 x축과 이루는 넓이를 정적분을 이용하여 구하려 할 때에는 함수 자체에 절댓값을 취해 함수의 곡선을 모두 x축 위쪽으로 반전시킨 뒤 정적분을 계산해야 한다. 즉, |h(x)| dx 가 x=a부터 x=b까지의 구간에서의 함수의 곡선 아래 넓이와 같은 값을 갖는다.

정적분의 성질

정적분은 다음과 같은 성질들은 갖는데, 이를 활용하여 다양한 계산을 더 쉽게 해낼 수 있다. a,b,c는 임의의 상수를 뜻한다.

⑴ ∫_a^a f(x)dx=0

이는 x=a부터 x=a까지의 구간에서 정적분을 시행하라는 의미이다. 그래프 곡선 아래의 영역을 잡을 수도 없을 뿐더러 단순히 원시함수 F(x)를 이용해 계산을 해보아도 =F(a)-F(a)=0 임을 알 수 있다.

⑵ ∫_a^b f(x)dx=-∫_a^b f(x)dx

f(x)=x²일 때, x=0부터 x=2까지의 구간에서의 적분값은 x² dx = 8/3 이지만 만약 0과 2의 자리를 바꾸어 써서 계산하면 x² dx = F(0)-F(2) = 0-⅓·(2)³ = -8/3 으로 음의 값이 된다. 구간의 처음과 끝에 위치한 수가 뒤바뀌면 결과값의 부호도 반대가 된다.

⑶ ∫_a^b f(x)dx=∫_a^c f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx

전체 영역인 x=a부터 x=b까지의 영역에 해당하는 정적분의 값은 x=a부터 x=c까지의 해당 영역과 x=c부터 x=b까지의 해당 영역을 합하는 것이라 볼 수 있다. 그러나 c가 반드시 구간의 양 끝인 a와 b 사이에 존재해야 하는 것은 아니다. 만약 x² dx 를 두 개의 정적분으로 쪼갠다고 했을 때 x² dx = x² dx +x² dx 와 같이 쪼개어 볼 수 도 있겠지만 x² dx = x² dx +x² dx 처럼 0과 2 사이의 값이 아닌 5와 같은 값을 기준으로 나눠도 무방하다. 원시함수 F(x)를 사용해 나타내보면 결과값은 같은 것을 알 수 있다. 

x² dx +x² dx = {F(5)-F(0)} + {F(2)-F(5)} = F(2)-F(0) =x² dx

⑷ ∫_a^b {f(x) ± g(x)}dx = ∫_a^b f(x)dx ± ∫_a^b g(x)dx

임의의 두 함수 f(x)와 g(x)를 합한 함수를 정적분 하는 것과 따로 각각의 정적분을 하여 합하는 것은 그 결과값이 같다.