점근선

요약 무한분지(無限分枝)를 가지는 곡선에 있어서 동점(動點)이 그 분지에 따라 원점에서 멀어질 때, 그 점에서 한 정직선(定直線)에의 거리가 0에 가까워질 때의 정직선을 말한다.

점근선은 일반적으로 수평점근선, 수직점근선, 사점근선으로 구분할 수 있다. 
함수의 그래프 y＝f(x)에 의해 주어진 곡선에 대하여 함수의 그래프가 x 가 +∞ 또는 -∞로 갈때 수평선에 가까워지면 수평점근선이라 한다.
수직점근선은 함수가 어떤 영향도 받지 않으면서 값이 계속 커질 때 y축에 평행한 수직선에 가까워지면 그 점근선을 수직점근선이라고 한다. 마지막으로 점근선이 x축이나 y축에 평행하지 않을 때 이러한 점근선을 사점근선(사선점근선)이라고 한다. 기본적인 함수들은 극한의 개념을 사용하여 계산하지 않아도 충분히 점근선을 찾을 수 있다. 함수에서 사점근선을 찾는 일반적인 방법은 다음과 같다.
 예컨대, 곡선의 분지 y＝f(x)가 x → ∞인 방향의(따라서 y축에 평행이 아닌) 점근선 y＝mx＋h를 가지면, 그 기울기 m과 y절편 h는

에 의해서 결정된다. 한편, 점근선을 다음과 같이 정의하기도 한다. 즉, ‘곡선의 무한분지 위의 동점이 그 분지를 따라 원점에서 멀어질 때, 그 점에 대한 곡선의 접선이 일정한 극한의 위치에 가까워지면, 그 극한의 직선이 점근선이다’라고 한다. 이 경우에는 y축에 평행이 아닌 점근선 y＝mx＋h는


에 의해서 결정된다. 점근선은 무한분지의 상황을 알기 위해서나 곡선의 개형을 그리기 위해서도 극히 중요하다.