극한

요약 접근(接近)을 바탕으로 한 수학적 개념이다. 수열에서는 무한수열 {an}에서 n이 무한히 커짐에 따라 an이 일정한 값 α에 한없이 가까워질 때 α를 그 수열 극한 또는 극한값이라 하고, 함수 f(x)에서 x가 어떤 값 a에 한없이 가까워짐에 따라 f(x)도 어떤 값 b에 한없이 가까워질 때, b를 f(x)의 극한 또는 극한값이라 한다.

수열의 극한

무한수열 {a_n}에서 n이 무한히 커짐에 따라 a_n이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면, α를 그 수열의 극한 또는 극한값(limit value)이라 하고,


로 나타낸다.

즉 이와 같은 관계를 엄밀하게 말하면, 아무리 작은 양수 ε을 취해도 이에 대응하는 충분히 큰 N을 취하면, N보다 큰 모든 n(n＞N)에 대하여 α－ε＜a＜α＋ε이 된다. 수열이 극한 α를 가질 때 그 수열은 α에 수렴한다고 하며, 수렴하지 않는 수열은 발산한다고 한다.

함수의 극한

함수 f(x)에서 x가 어떤 값 a에 한없이 가까워짐에 따라 f(x)도 어떤 값 b에 한없이 가까워지면, b를 f(x)의 극한 또는 극한값이라 하고, 이것을



로 나타낸다. 즉 이와 같은 관계를 엄밀하게 말하면, 아무리 작은 양수 ε를 취해도, 이에 대응하는 적당한 양수 δ를 취하면 a－δ＜x＜a+δ(x≠a)로 되는 모든 x에 대하여 b－ε＜f(x)＜b+ε이 된다. 극한에 관한 생각은 미적분학을 비롯하여 해석학 전반에 걸쳐 기초가 되는 중요한 개념으로서, I.뉴턴이 도입하였고 A.L.코시에 의해서 수학적으로 엄밀한 정의가 내려졌다.