2차곡면

요약 3개의 변수 x,y,z에 관한 2차방정식의 상수항을 모두 0으로 두었을 때, 그 방정식의 그래프는 3차원공간에서 곡면으로 나타낼 수 있다. 이것을 2차곡면이라고 하고, 좌표축을 바꾸면 몇 가지 전형적인 형태를 만들 수 있다.

3개의 변수 x,y,z에 관한 2차식을 0으로 놓은 다음 방정식 ax²＋by²＋cz²＋2hxy＋2gxz ＋2fyz＋2lx＋2my＋2nz＋c＝0의 그래프는 3차원공간에서의 곡면으로 나타낼 수 있는데, 이것을 2차곡면이라고 한다. 이 식은 좌표를 움직여서 좌표축을 바꾸어 다음과 같은 전형적인 형태로 만들 수 있다.

① 타원면 x²/a²＋y²/b²＋z²/c²=1
세 축에 수직으로 자른 단면은 어느 것이나 타원이 된다. 한 방향의 단면이 원이 되면 럭비공이나 원반던지기의 원반과 비슷한 모양이 되는데, 이것들은 회전체이기도 하다.

② 일엽(一葉)쌍곡면 x²/a²＋y²/b²－z²/c²=1
Z축에 수직으로 자르면 단면은 타원이 되고, 다른 두 축에 각각 수직으로 자르면 쌍곡선이 된다.

③ 이엽쌍곡면 －x²/a²－y²/b²＋z²/c²=1
X축에 수직으로 자르면 단면은 타원이 되고, 다른 두 축에 각각 수직으로 자르면 쌍곡선이 된다.

④ 2차뿔면 x²/a²＋y²/b²－z²/c²=0, －x²/a²－y²/b²＋z²/c²=0
평면상에 있는 곡선 위의 1점과 공간의 정점(定點)을 연결하는 직선으로 이루어지는 곡면을 뿔면[錐面]이라 하고, 곡선을 도선(導線), 정점을 꼭짓점[頂點], 곡면을 이루는 직선을 모선(母線)이라고 한다.

이 식은 ②의 식의 우변을 0으로 놓은 것이며, 꼭짓점에서 멀어짐에 따라 ②의 곡면에 무한히 접근하므로 ②의 점근뿔면[漸近錐面]이라고 한다. ③의 식의 우변을 0으로 놓으면 ③의 점근뿔면을 얻는다. 이들은 2차뿔면의 예이다.

⑤ 타원포물면 x²/a²＋y²/b²=2z
Z축에 수직으로 자르면 단면은 타원이 되고, 다른 두 축에 각각 수직으로 자르면 포물선이 된다.

⑥ 쌍곡포물면 x²/a²－y²/b²=2z
⑤의 타원이 쌍곡선으로 되는 것이며, 말 안장의 모양과 비슷하다.

⑦ 기둥면[柱面]:도선상의 점을 지나는 정방향(定方向)인 직선이 모선이 되어 만드는 곡면이다. 방정식은 도선에 따라 여러 가지이며, 도선이 원일 때는 원기둥[圓柱]이고 회전체가 된다. 도선이 2차곡선일 때는 2차기둥면이 된다.