운동방정식

요약 물체의 운동을 기술하는 변수들 사이의 시간에 따른 관계를 나타내는 방정식이다. 일반적으로 미분(微分)방정식으로 나타난다. 뉴턴역학에서는 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해서 표현되는 2계 미분방정식으로 주어진다. 해석역학(Analytic Mechanics)을 포함하면 라그랑지 운동방정식, 해밀톤 운동방정식 따위가 있다.

물체의 운동을 기술하기 위해서 변위, 속도, 운동량 등의 물리량을 사용한다. 이러한 물리량들의 시간에 따른 변화를 나타내는 관계식을 운동방정식이라고 한다. 뉴턴역학에서는 질량이 변하지 않는 경우에

F=ma

로 표현되는 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해서 운동방정식을 세울 수 있다. 가속도는 시간에 따른 속도의 변화율이고, 속도는 시간에 따른 위치의 변화율(변위)이다. 따라서 위의 운동방정식은 시간에 따른 변위(x: 본문의 굵은 글씨는 벡터량)와 힘(F)의 관계식

F=md²x/dt²

또는 시간에 따른 속도(v)와 힘(F)의 관계식

F=mdv/dt

으로 볼 수 있다.

뉴턴역학에서는 물체의 위치와 그 때의 속도로 운동을 완전히 기술할 수 있다. 즉, 속도와 변위가 뉴턴역학에서 운동을 기술하는 변수이므로 이들의 시간에 대한 관계가 운동방정식이 된다. 질량이 변하는 경우에는

F=dp/dt

로 운동량(p=mv)을 이용한 보다 일반적인 뉴턴의 운동 제2법칙을 사용한다.

위의 식들에서 좌변의 힘은 물체에 작용하는 합력(合力: Net Force)이다. 따라서 물체에 작용하는 모든 힘을 알면 운동방정식을 세울 수 있다. 시간과 변위의 관계식으로 운동방정식을 쓰면 그 해로 시간에 따른 물체의 이동경로를 얻는다. 시간과 속도의 관계식으로 운동방정식을 세우면 그 해로 시간에 따른 물체의 속도변화를 얻는다. 예를 들어 질량이 변하지 않는 물체가 중력에 의해 자유낙하를 할 경우에는(g는 중력가속도)

mg=m(d²x/dt²)

로 운동방정식을 쓸 수 있다. 이로부터

x(t)=1/2(gt²)+v₀t+x₀

라는 시간에 따른 물체의 경로 관계식을 해로 얻는다.

미분방정식을 일반적으로 풀지 않더라도 위의 해를 주어진 운동방정식에 대입하여 미분해보면 간단하게 등식이 성립함을 확인할 수 있다. 대입하는 과정에서 v_0,x₀가 임의의 값이어도 주어진 운동방정식의 해가 되는 것을 알 수 있다. 따라서 하나의 해를 구하기 위해서는 이 두 값을 특정한 값으로 정해줄 필요가 있다. 이는 주어진 운동방정식이 2계 미분방정식으로 해가 두 개의 적분상수를 가지기 때문이다.

뉴턴역학 이외에도 최소작용원리(Principle of Least Action)를 이용한 해석역학인 라그랑지역학, 해밀톤역학 등이 있으며 각각 라그랑지 운동방정식, 해밀톤 운동방정식으로 불리는 미분방정식을 운동방정식으로 가진다.