완전제곱
[ Perfect Square , 完全─ ]
- 요약
어떤 정수의 제곱이 되는 정수 또는 어떤 다항식의 제곱이 되는 다항식
정수가 어떤 정수의 제곱이 되거나 다항식이 어떤 다항식의 제곱이 되는 것을 말한다. 즉, 임의의 정수 또는 다항식 A가 완전제곱이 되려면 A=B2으로 표현될 수 있는 정수 또는 다항식 B가 존재해야 한다. 예를 들어 정수 4는 2 또는 -2의 제곱이며, 정수 9는 3 또는 -3의 제곱이다. 4=22=(-2)2,9=32=(-3)2이기 때문에 4와 9는 완전제곱이다. 또한 x2+2x+1=(x+1)2이므로 x2+2x+1은 완전제곱이다.
그러나 정수 2가 2=(√2)2라고 해서 2가 완전제곱은 아니다. 또한 a>1인 실수인 a에 대하여 a-1=(√a-1)2로 표현될 수 있다해서 a-1이 완전제곱은 아니다. 정수가 정수의 제곱으로 표현될 때, 다항식이 다항식의 제곱으로 표현될 때 완전제곱이라 한다.
완전제곱식 만들기
실수 x에 대한 이차함수 f(x)=x2+4x를 살펴보자. 이차함수는 함수의 식을 완전제곱식 형태로 바꾸어주면 이차함수의 그래프인 포물선의 꼭짓점의 좌표를 쉽게 알 수 있다. x2+4x에 4를 더하고 빼서 식의 값은 그대로 유지한 채 완전제곱식만 이끌어내보자.
x2+4x = x2+4x+4-4
= (x2+4x+4)-4
= (x+2)2-4
이처럼 4를 더해서 (x+2)2라는 완전제곱식을 이끌어 낼 수 있다.
임의의 문자 x에 대해서 한 다항식 안에 x에 대한 이차항과 일차항이 존재하면 적당한 수를 더하여 완전제곱식을 만들 수 있다. 즉 함수의 식이나 다항식 안에 ax2+bx 꼴의 다항식이 포함되어 있는 경우 적당한 수 t를 더하고 빼서 a(x+□)2형태의 완전제곱식을 얻을 수 있는 것이다. 이를 전개하면 아래와 같다.
ax2＋bx＋t = a(x＋□)2
= a(x2＋2□x＋□2)
= ax2＋2a□x＋a□2
양변의 계수를 비교해보면 b=2a□이므로 □=b/2a이다. 또한 완전제곱식을 만들기 위해 더해진 t=a□2=a(b/2a)2＝b2/4a임을 알 수 있다.
흔히 ax2+bx꼴의 식에서 x의 이차항의 계수 a가 1인 경우가 많은데, a=1일 때 □=b/2, 즉 b 값의 절반이고, t＝b2/4＝(b/2)2, 즉 b의 절반값의 제곱이다. 다시 말해 이차항의 계수가 1일 때는 일차항 계수의 절반의 제곱을 더하고 빼서 완전제곱식을 만들 수 있으며, 일차항 계수의 절반이 들어있는 완전제곱식 (x＋b/2)2를 얻을 수 있다.
이제 이를 적용하여 x2-2x을 완전제곱식 형태로 고쳐보자. 이차항의 계수 a가 1이고 일차항의 계수 b가 -2이므로, 일차항의 계수의 절반의 제곱을 더하고 빼 준다. -2의 절반은 -1이고 이의 제곱은 자연수 1이다.
x2-2x = x2-2x+1-1
=(x2-2x+1)-1
=(x-1)2-1
일차항의 계수인 -2의 절반 -1이 포함된 완전제곱식 (x-1)2을 이끌어낼 수 있다. 이차함수의 식을 완전제곱식으로 변형하면 꼭짓점의 좌표, 최댓값과 최솟값 등을 쉽게 알 수 있다.