이차방정식

요약 최고차항의 차수가 2차인 다항방정식.

이차방정식은 일반적으로 다음과 같은 식으로 나타난다.

ax²+bx+c=0

우선 여기서 만약 a=0 이면 방정식이 ax²+bx+c = bx+c 가 되어 x²의 항인 이차항이 존재하지 않게 되므로, 주어진 방정식은 이차방정식이 될 수 없다. 그러므로 a≠0이어야 한다. 이차방정식의 해를 구하는 방법은 인수분해와 근의 공식 두 가지가 있으며, 이차방정식은 방정식 그 자체뿐 아니라 이차함수의 계산을 위해 자주 사용된다.

인수분해를 통해 해를 구하는 방법

이차방정식의 해를 구하기 위하여 인수분해를 하면 다음과 같은 두 가지 식 중 하나를 얻을 수 있다.

(1) a(x-α)(x-β)=0 (단, α≠β, α, β는 실수)
x에 α 또는 β를 대입하면 좌변이 0이 되어 등호가 성립함을 알 수 있다. 그러므로 이 경우 이차방정식의 해는 x=α 또는 x=β이며 서로 다른 두 실근을 갖는다고 한다.

(2) a(x-α)²=0 (단, α는 실수)
x에 α를 대입하면 좌변이 0이 되어 등호가 성립함을 알 수 있다. 이 경우 이차방정식의 해는 x=α이며 중근을 갖는다, 또는 하나의 실근을 갖는다고 한다.

a(x-α)²=a(x-α)(x-α)=0 과 같이 괄호식을 제곱한 것을 다시 한 번 풀어 써 보면, (1)의 경우와 식의 형태는 같으나 두 근의 값이 α로 같을 뿐임을 알 수 있다. 즉, x=α라는 근을 두 번 갖는다는 의미의 '중복된 근', 중근이다.

근의 공식을 통해 해를 구하는 방법

그러나 위와 같은 형태의 식으로 인수분해가 쉽게 되지 않는 경우, 근의 공식을 이용하여 해를 구한다. 근의 공식은 완전제곱의 꼴로 변형함으로써 유도되며, 이차방정식 ax²+bx+c=0의 해는 다음과 같다.

   

여기서 D=b²-4ac를 판별식(Discriminant)이라 하는데, 이는 D의 값을 통해 이차방정식이 몇 개의 실근을 가지는지 판별할 수 있기 때문이다.

(1) D＞0이면 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가진다. 근의 공식에서 판별식 D는 근호(root)안에 위치하므로 근호 안의 값이 양수가 되면 근호 앞의 ±에 의해 x의 값은 +, -값 두 가지가 되기 때문이다.
(2) D=0일 때 이차방정식은 하나의 실근(중근)을 갖는다. 근의 공식에서 근호 안의 값이 0이 되면 단순하게 -b/2a를 하나의 근으로 갖기 때문이다.
(3) D<0이면 실근을 가지지 않는데, 이때 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 가진다. 근호 안의 값이 음수가 되면 그 수는 허수가 되기 때문이다.