최솟값

요약 함수나 변수가 정의역 또는 주어진 범위 내에서 가지는 가장 작은 값

최솟값은 주어진 범위 내에서 가장 작은 값이다. 집합 A={1,3,5,7}이라 하면 원소 중 최솟값은 가장 작은 1이 된다. 구간으로도 많이 표현되는데, -1≤x≤1 구간에서 실수 x가 가지는 최솟값은 -1이다.

만약 구간이 0＜x≤1로 주어졌다면 x가 가질 수 있는 최솟값은 0일까? 그렇지 않다. 우선 0은 이 구간에 포함되지 않는다. 0에 아주 가까운 값들이 무수히 존재하지만 그중 무엇이 가장 작은 지도 알 수가 없다. 0.001보다도 0.0001이 작고, 0.00001은 더 작기 때문이다. 그러므로 어느 하나 숫자를 정하여 최솟값이라 할 수 없다. 최솟값은 하나의 정확한 값으로만 존재해야 한다. 중복으로 존재해도 상관없다. 예를 들어 집합 {3,3,5,7}에서의 3이 여러 개여도 최솟값은 3이 된다.

함수의 최솟값

함수 f(x)의 최솟값이란 주어진 범위 내에서 함수 f(x)가 가지는 값 중 가장 작은 값이다. 주어진 범위는 여러 형태일 수 있지만 주로 a≤x≤b와 같은 구간으로 주어지거나 특정 집합으로 주어진다. 특별히 범위가 언급되지 않는 경우는 정의역 전체가 주어진 범위가 된다. 최솟값을 찾는 가장 확실한 방법은 함수의 그래프를 통해 확인하는 것이다. 그래프에서 y축을 기준으로 가장 낮은 곳에 위치하는 점이 그 함수의 최솟값이 된다.

• 일차함수의 최솟값

  일차함수의 그래프는 직선그래프이다. 그래프를 그려 일차함수 y=-2x의 구간 0≤x≤1 에서의 최솟값을 구해보자.

  
  

  그래프로 확인할 수 있듯이 x=1에서 제일 작은 값을 갖는다. 그러므로 f(1)=-2·1=-2가 최솟값이 된다. 일차함수는 그래프가 직선이기 때문에 구간 양 끝값에서 최댓값과 최솟값이 발생한다. 그러므로 일반적으로 구간 a≤x≤b 에서의 일차함수 f(x)의 최솟값은 구간의 양 끝값인 f(a) 또는 f(b) 중에 하나가 된다.

• 이차함수의 최솟값

  이차함수는 그래프가 포물선 모양이다. 이차함수 y=x²-4의 구간 -1≤x≤2 에서의 최솟값을 그래프를 그려 구해보자.

  
  

  x=-1과 x=2 사이에 존재하는 x=0에 포물선의 축이 있다. 그리고 포물선의 축이 있는 x=0에서 가장 작은 값을 갖는다. 그러므로 f(0)=-4가 최솟값이다. 이번에는 같은 함수 y=x²-4에서 구간만 1≤x≤3으로 바꾸어 최솟값을 살펴보자.

  
  

  포물선의 축인 x=0이 포함되지 않아 x=1에서 가장 작은 값을 갖는 것을 볼 수 있다. 여기서의 최솟값은 f(1)=-3이다. 이렇게 이차함수의 최솟값은 포물선의 축 위의 함숫값이 될 수도 있고 주어진 구간 양 끝의 함숫값 중 하나가 될 수도 있다.

양수인 두 역수의 합의 최솟값

양수 a와 그 역수인 1/a의 합인 a+1/a는 서로 역수인 두 역수의 합이다. 산술기하평균에 의해 두 역수의 합은 항상 2보다 같거나 크다. 원래 산술기하평균에 의한 부등식의 내용은 양수 a,b에 대하여 a+b≥2가 성립하며, 특히 a=b일 때 등호가 성립한다는 것이다. 여기서 b를 1/a로만 바꾸어주면 좌변은 두 역수의 합이 된다.

즉, a+1/a는 항상 2보다 같거나 크다. 또한 좌변에 더해진 두 수가 같을 때 등호가 성립하므로 a=1/a일 때 a+1/a=2가 된다. 다시 말해 a+1/a는 a=1/a일 때 최솟값 2를 갖는다. 이는 여러가지 두 수의 합에 다음과 같이 활용할 수 있다. 

• 예1) x>1일 때 x+1/(x-1)의 최솟값을 구해보자.

   

  x+1/(x-1)은 -1만 더해주면 (x-1)+1/(x-1)이 되어 두 역수의 합이 된다. 대신 -1을 한 만큼 +1을 해주면 된다. (x-1)+1/(x-1)≥2 이므로  x+1/(x-1)=(x-1)+1/(x-1)+1≥2+1=3이 되어 최솟값은 3이다.

   

• 예2) t>0일 때 t+9/t의 최솟값을 구해보자.

   

  두 역수의 합인 듯 보이지만 아쉽게도 서로 역수는 아니다. 그러나 산술기하평균을 적용하면 최솟값을 찾을 수 있다.

  
  

  최솟값은 6이다. 꼭 t+1/t 형태의 딱 떨어지는 역수의 합이 아니더라도 분모에 t가 있으면 산술기하평균을 사용해 쉽게 최솟값을 구할 수 있다.