산술기하평균

요약 산술값과 기하값의 수렴값이 극한값 M과 같을 때, 이 극한값 M을 말한다.

a₁＞0, b₁＞0이고

       a_ń＝(a_n-1+b_n-1)/2,

       b_ń＝√(a_n-1b_n-1(n＝2,3…)

라 정의할 때, 수열 a_ń, b_ń은 같은 극한값 M에 수렴한다. 즉,

이다. 이 M을 a₁, b₁의 산술기하평균이라 한다. 일반적으로 이 M의 값을 구하는 계산은 복잡하지만 C.F.가우스는 M에 대하여

      

가 성립함을 증명했다.