상미분방정식

요약 미지함수(未知函數)가 독립변수를 한 개만 포함한 미분방정식이다. 함수가 제n계까지의 도함수를 가지면, 함수에 대해 n계 상미분방정식이라 한다.

x는 실수값 또는 복소수값을 취하는 변수, y는 x와 같이 실수값 또는 복소수값을 취하는 x의 함수, y는 x에 관해서 n회 미분가능이고, y의 x에 관한 제n계까지의 도함수를 y′,y″,…,y⁽ⁿ⁾이라 하자. 이때 x,y,y′,…,y⁽ⁿ⁾ 사이에 x에관해서 항등적으로 성립하는 관계식
      F(x,y,y′,…,y⁽ⁿ⁾)＝0 ………①
을 함수 y(x)에 대한 n계 상미분방정식이라 한다.

이를테면, y″＋a²y＝0은 2계 상미분방정식이다.모든 상미분방정식은 적당히 교환함으로써 1계 상미분방정식의 쌍(연립상미분방정식)으로 고칠 수 있다. ①식은 y＝y₁, y′＝y₂, y″＝y₃,…, y^(n-1)＝y_n으로 놓으면, y₁′＝y_2, y₂′＝y₃,…, y_n-1′＝y_n, F(x,y₁,y₂,y₃, …, y_n, y_n′) ＝ 0과 같이 나타낼 수 있다. 이와 같이 1계 상미분방정식을 y′(i＝1,2,…,n)에 관해서 풀었을 때의 y_i′＝f_i(x,y₁,…,y_n)을 정규형(正規形)이라 한다.

또 일반적으로 n계의 상미분방정식을 y⁽ⁿ⁾에 관해서 풀었을 때의 y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y′, y″, …, y^(n-1))을 실정규형(實正規形)이라고 한다.