다각형

요약 세 개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형을 말하며, n개의 선분으로 이루어진 다각형은 n개의 변, n개의 꼭짓점, n(n－3)/2개의 대각선을 가진다.

다각형은 그것을 이루고 있는 선분의 개수에 따라 삼각형·사각형·n각형이라 한다. 또, 다각형을 만드는 선분을 변, 두 선분이 만나는 점을 꼭짓점이라 하고, 다각형의 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 잇는 선분을 대각선이라고 한다. 그러므로 n각형은 n개의 꼭짓점, n개의 변 및 n(n－3)/2개의 대각선을 가진다. 또, 다각형의 모든 변의 길이의 합을 다각형의 둘레, 다각형의 둘레로 둘러싸인 평면 부분을 다각형의 내부, 평면에서 둘레와 내부를 제외한 나머지 부분을 다각형의 외부라 한다([그림1]). 따라서, 다각형은 둘레와 내부로 이루어진 도형이다.

[그림2]에서 변 P₁P_n의 P₁을 지나는 연장선 위의 점을 X라 하고, 변 P₁P₂의 P₁을 지나는 연장선 위의 점을 Y라고 할 때, ∠P₂P₁P_n을 P₁에 대한 내각, ∠P₂P₁X와 ∠P_n P₁Y를 P₁에 대한 외각이라 한다. 그러므로 내각과 외각의 크기의 합은 180 °(〓2직각), n각형의 내각의 크기의 합은 180(n－2) °이고, 외각의 크기의 합은 360 °이다. 이들 n각형의 대각선의 수나 내각·외각의 크기의 합은 모두 주어진 n각형을 몇 개의 삼각형으로 분할함으로써 구할 수 있다.

볼록다각형과 오목다각형

다각형의 임의의 변의 양 끝의 꼭짓점을 이웃하는 꼭짓점이라 하고, 임의의 이웃하는 꼭짓점을 잇는 직선에 대하여, 다각형의 나머지 꼭짓점이 언제나 그 직선에 대하여 같은 쪽에 있을 때의 다각형을 볼록다각형이라 하며, 각 내각의 크기는 모두 180 °보다 작다. 또 다각형의 어떤 이웃하는 두 꼭짓점을 잇는 직선에 대하여 나머지 꼭짓점 중에서 적어도 2개가 이 직선의 양쪽에 있을 때, 이 다각형을 오목다각형이라 하며, 180 °보다 큰 내각을 가진다. [그림2]는 볼록다각형, [그림1]은 오목다각형이다.

정다각형

다각형 중 모든 변의 길이가 같은 다각형을 등변다각형이라하고, 모든 각의 크기가 같은 다각형을 등각다각형, 또 모든 변의 길이와 각의 크기가 같은 다각형을 정다각형이라고 한다. 이에 속하는 것으로는 정삼각형·정사각형·정오각형·정육각형 등이 있다.

정다각형 작도

정다각형은 원주를 등분하여, 그 원에 내접시켜서 그릴 수 있다. 예를 들면, 원의 반지름과 같은 길이를 잡은 컴퍼스로 원주를 등분하면 6등분된다. 이 때 각 등분점을 연결하면 정육각형 또는 정삼각형을 작도할 수 있다. 그러나 자와 컴퍼스만으로는 7등분·9등분·11등분 등은 할 수 없다. 자와 컴퍼스로 원주를 n등분하는 문제는, n이 어떤 양의 정수일 때 가능한지 K.F.가우스에 의해 해결되었다.