내분·외분

요약 선분 위의 한 점을 취할 때 선분을 나누는 점을 취하면 내분한다고 하고, 선분의 연장선 위에 점을 취하면 외분한다고 한다.

선분 AB 위에 있는 A와 B 사이의 점 P는 선분 AB를 2개의 선분 AP와 PB로 나눈다. 이때 점 P는 선분 AB를 AP와 PB로 내분한다 하고, P를 내분점(內分點)이라 한다(AP＋PB＝AB). 또, 선분 AB의 연장 위에 점 P'를 취할 때, P'는 선분 AB를 AP'와 P'B로 외분한다 하고, P'를 외분점(外分點)이라 한다. 이때, AP'와 P'B의 길이의 차는 AB의 길이와 같아진다. 점 P가 선분 AB의 내분점일 때, AP:PB를, P가 AB를 내분하는 비(比)라 하고, 점 P'가 선분 AB의 외분점일 때 AP':P'B를 P'가 선분 AB를 외분하는 비라고 한다.



두 선분 m,n(단, m≠n)이 주어졌을 때, 선분 AB를 m:n의 비로 내분하는 점과 외분하는 점은 1개씩 있다. 그 점은 다음과 같이 작도할 수 있다. 직선 AB 밖에 점 M을 AM＝m이 되도록 잡고, B를 지나 AM에 평행한 직선 위에 N,N'를 BN＝BN'＝n(단, N은 AB에 관하여 M의 반대쪽)이 되도록 잡는다. M과 N,N'를 이은 직선 MN,MN'가 직선 AB와 만나는 점을 P,P'라 하면 P,P'는 각각 선분 AB를 m:n의 비로 내분하는 점과 외분하는 점이다. 이때, P,P'는 선분 AB를 조화(調和)로 나눈다, 또는 4점 A,B,P,P'는 조화점렬(調和點列)을 이룬다고 한다. AP,AB,AP'는 조화수열을 이룬다. 즉, AP,AB,AP' 사이에는



인 관계가 성립한다. 좌표평면 위의 두 점을 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)라 할 때, 선분 AB를 m:n의 비로 내분하는 점을 P(x,y), m:n(m≠n)의 비로 외분하는 점을 p'(x',y')라 하면,



이다. 또, 직선 AB를 유향선분(有向線分), AP,PB 등을 유향선분의 길이라고 하면, P가 내분점일 때, AP:PB는 양(陽)의 값, P가 외분점일 때 AP:PB는 음(陰)의 값을 가진다. m,n을 양 또는 음의 실수(단, m＋n≠0)라 할 때, 선분 AB를 m:n의 비로 나누는 점은 m:n의 값이 양이면 내분점, 음이면 외분점이 된다. 즉 mn＞0일 때 점 P는 내분하는 점, mn＜0(m＋n≠0)일 때 점 P는 m:n으로 외분하는 점이다. 이와 같이 생각하면 이 점의 좌표를 나타내는 공식은 앞에서 말한 내분점일 때의 공식을 그대로 적용할 수 있다.