가환

요약 연산 또는 함수 연산에 있어서 교환법칙이 성립하는 성질.

2+3은 3+2와 같지만(2+3=3+2), 2-3=-1로 3-2=1과 다르다. 즉, 덧셈을 할 때는 앞뒤 순서에 상관없이 결과가 같지만 뺄셈을 할 때에는 앞뒤 순서가 바뀌면 결과도 달라지게 된다. 덧셈과 같이 연산을 적는 순서의 앞뒤가 달라져도 결과가 같은 성질을 가환이라 한다. 예를 들어 실수의 사칙연산에서 가환인 것과 아닌 것을 살펴보면 다음과 같다. (a,b는 실수)

① 덧셈: a+b=b+a (가환 성립)

② 뺄셈: 2-3≠3-2 (가환 미성립)

③ 곱셈: a×b=b×a (가환 성립)

④ 나눗셈: 1÷3≠3÷1 (가환 미성립)

가환이 아니어서 주의해야 하는 대표적인 경우로 행렬의 곱셈을 들 수 있다. 실수의 곱셈은 ab=ba로 가환이지만 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않아 두 정사각행렬 A,B에 대하여 AB≠BA이다.

일반적으로 연산이나 함수의 가환 여부는 연산자 ×에 대하여 a×b=b×a 가 성립하는지, 혹은 함수 f에 대하여 f(a,b)=f(b,a) 가 성립하는지 여부로 확인할 수 있다. 함수의 예를 하나 살펴보자. 함수 f를 실수 a,b에 대하여 f(a,b)=ab+a+b라 정의하자. a,b의 순서를 바꾸어 f(b,a)를 계산해도 f(b,a)=ba+b+a=ab+a+b=f(a,b)로 교환법칙이 성립하므로 이 함수는 가환이다. 이처럼 실수나 행렬,벡터 등 다양한 수학적 대상과 그에 관련한 연산에 대하여 가환 여부를 판별할 수 있다.