구의 넓이를 미분하면...

직육면체와 정육면체의 겉넓이

▶ 직육면체의 겉넓이
       직육면체의 여섯 면의 넓이의 합을 직육면체의 겉넓이라고 한다.

    ① 여섯 면의 넓이의 합을 구한다.
            (2×3)+(2×3)+(2×4)+(2×4)+(3×4)+(3×4)=52(㎠)

    ② 직육면체의 마주 보는 면은 서로 합동이다. 따라서 서로 다른 세 면의 넓이를 합한 후
        이를 2배 한다.
            {(2×3)+(2×4)+(3×4)}×2=52(㎠)

    ③ 밑면 2개와 옆면 4개가 연결된 긴 직사각형 모양의 옆넓이의 합을 구한다.

          (밑면의 넓이) = 2×3 = 6 (㎠)
          (옆넓이) = ( 3+2+3+2 )×4 = 40 (㎠)
          (직육면체의 겉넓이) = (밑넓이)×2 + (옆넓이)
                                        = (2×3)×2 + ( 3+2+3+2 )×4
                                        = 52 (㎠)

▶ 정육면체의 겉넓이

      정육면체는 각 면이 합동인 6개의 정사각형이므로, 정육면체의 겉넓이는 한 면의
      넓이의 6배이다.

          (정육면체의 겉넓이)= ( 2×2 ) × 6 = 4 × 6 = 24 (㎠)

부피의 비교

▶ 가로, 세로, 높이를 직접 비교하기

         
       ⇒ 길이를 직접 비교해도, 어느 상자의 부피가 더 크다고 바로 말할 수 없다.

▶ 두 상자 안에 같은 물체를 넣어보고 몇 개씩 들어가는지 알아보기

    ㆍ주사위가 두 상자에 각각 몇 개씩 들어가는지 알아보니, (가)에는 36개, (나)에는 30개
       들어간다. 따라서 (가)의 부피가 더 크다.
 

    ㆍ즉, 두 상자의 부피를 직접 비교할 수는 없으나, 두 상자 안에 같은 모양의 물체가 몇
       번 들어가는지를 통하여 간접적으로 부피를 비교할 수 있다.

부피의 단위

▶ 부피의 단위

    ㆍ입체도형의 부피를 나타내기 위하여 한 모서리가 1㎝인 정육면체의 부피를 단위로
       사용한다.
       이 정육면체의 부피를 1㎤라 하고, 일세제곱센티미터라고 읽는다.

▶ 쌓기나무로 알아본 직육면체의 부피
    ㆍ아래의 직육면체와 같도록 부피가 1㎤인 정육면체 모양의 쌓기나무로 다음과 같이
       쌓았다.

    ㆍ가로 2줄, 세로 4줄, 높이 3층으로 쌓았으므로 한 층에 8개씩 3층으로, 모두 24개의
        쌓기나무로 쌓았다.
    ㆍ쌓기나무 1개는 부피가 1㎤이므로 이 직육면체의 부피는 24㎤이다.

직육면체의 부피

▶ 쌓기나무로 직육면체의 부피 알아보기

    ㆍ쌓기나무가 한 층에 가로로 4줄, 세로로 3줄이므로 한 층에 있는 쌓기나무는
        (가로)×(세로)= 4×3 = 12(개)이다.
    ㆍ2층으로 구성되어 있으므로 전체 쌓기나무의 개수는 12×2 = 24(개)이다.
    ㆍ쌓기나무 1개의 부피는 1㎤ 이므로 이 직육면체의 부피는 24㎤ 이다.

▶ 직육면체의 부피 구하는 방법

   ㆍ직육면체 밑면의 가로는 4㎝, 세로는 3㎝ 이므로
       (밑넓이) = (밑면의 가로의 길이)×(밑면의 세로의 길이) = 4 × 3 = 12 (㎠) 이다.
    ㆍ높이는 2㎝이므로 직육면체의 부피는
        (직육면체의 부피) = (밑넓이)×(높이)
                                   = (밑면의 가로의 길이)×(밑면의 세로의 길이)×(높이)
                                   = 4 × 3 × 2
                                   = 12 × 2
                                   = 24 (㎤)

 정육면체의 부피

▶ 쌓기 나무로 정육면체의 부피 알아보기

    ㆍ쌓기나무가 가로로 3줄, 세로로 3줄이다.
    ㆍ한 층에 놓인 쌓기나무의 개수는 (가로)×(세로)= 3×3 = 9(개)이다.
    ㆍ3층까지 놓인 쌓기나무의 개수는 9×3 = 27(개)이다.
    ㆍ쌓기나무 1개의 부피는 1㎤ 이므로 이 직육면체의 부피는 27㎤ 이다.

▶ 정육면체의 부피 구하는 방법

    ㆍ정육면체의 부피는 직육면체의 부피를 구하는 방법과 같이 구할 수 있다.
    ㆍ또한 정육면체는 각 모서리의 길이가 같으므로, 한 모서리의 길이를 세 번 곱해서
       구할 수 있다.

          (정육면체의 부피) =  (밑넓이)×(높이)
                                     =  (밑면의 가로의 길이)×(밑면의 세로의 길이)×(높이)
                                     =  (한 모서리의 길이)×(한 모서리의 길이)×(한 모서리의 길이)
                                     =  3 × 3 × 3
                                     =  27(㎤)

부피의 큰 단위

    ㆍ큰 입체의 부피를 나타내기 위하여 한 모서리가 1m인 정육면체의 부피를 단위로 사용
       한다. 이 정육면체의 부피를 1㎥라 하고, 일세제곱미터라고 읽는다.

▶ 1㎥와 1㎤의 관계

    ㆍ1㎥는 한 모서리가 1m인 정육면체의 부피로 1m=100㎝를 이용하여 ㎤ 단위로 고치면
           1㎥ = 1m × 1m × 1m
                 = 100㎝ × 100㎝ × 100㎝
                 = 1000000 (㎤)
       즉 1㎥ = 1000000 ㎤이다.

부피와 들이 단위 사이의 관계

▶ 1L와 1000㎤의 관계

    ㆍ물건의 들이를 나타내기 위하여 안치수의 가로, 세로, 높이가 각각 10㎝인 단위를
       사용한다. 이 그릇의 들이를 1L라 하고, 일리터라고 읽는다.

▶ 1mL와 1㎤의 관계

    ㆍ작은 들이의 단위를 나타내기 위하여 안치수의 가로, 세로, 높이가 각각 1㎝인 단위를
       사용한다. 이 그릇의 들이를 1mL라 하고, 일밀리리터라고 읽는다.
 

▶ 1L와 1mL의 관계

    ㆍ1L=1000㎤ 이고 1mL=1㎤이므로 1L = 1000㎤ = 1000mL이다.