유클리드 기하학 서적 관련 질문할께요

http://pds24.egloos.com/pds/201205/22/56/Euclid_-_Elements_of_Geometry.pdf

이건 영어 원서로된 유클리드 기하학 원론입니다.

아래 유클리드 기하학 원론

출처 : https://www.google.co.kr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0CDwQFjAC&url=http%3A%2F%2Fcfile221.uf.daum.net%2Fattach%2F166763134AE51F6717D4E9&ei=fSuWUofJKsnGkQW28IAI&usg=AFQjCNH-nYZRqoFck_su0U3Wuy98ZxcyJg&bvm=bv.57155469,d.dGI&cad=rjt

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 유클리드의 기하학 원론

☆ 목차 ☆

1. 유클리드의 생애

2. 유클리드 이야기

① 첫 번째 혁명

② 유클리드의 선언

③ 공준과 일반 개념(공리)에 대한 논란

④ 유클리드의 원론의 논리적 결함

⑤ 유클리드에 관계된 일화

3. 유클리드의 기하학 원론

① 1권 직선, 각, 삼각형

② 2권 도형의 넓이

③ 3권 원의 성질

④ 4권 정다각형을 원에 내접, 외접시키는 방법

⑤ 5권 비율, 비례식

⑥ 6권 닮은꼴 도형

⑦ 8권 수들의 비율

⑧ 7권, 9권 약수, 배수, 서로 남남, 홀수, 짝수, 홑수, 완전수

⑨ 10권 무리수

⑩ 11권~13권 공간기하

☆ 참고 문헌 및 사이트 ☆

http://my.netian.com/~goldhoon/uclid.htm

http://211.248.118.200/root2/Study/mathematician/유클리드.htm

레오나르드 믈로디노프, 『유클리드의 창:기하학 이야기』, 까치, 2002

유클리드, 『기하학 원론(평면기하)』, 교우사, 1998

유클리드, 『기하학 원론(비율, 수)』, 교우사, 1998

유클리드, 『기하학 원론(무리수)』, 교우사, 1998

유클리드, 『기하학 원론(공간기하)』, 교우사, 1998

1.유클리드의 생애

유클리드는 BC 330년경 시리아(Syria)의 지루에서 출생하였으며, 아버지는 노크라데스, 할아버지는 시날크스라고 하는 다마스크 출신의 그리스인이었다.

유클리드가 태어났던 시대는 아리스토텔레스와메네쿰스(Menaechums)의 시대였고 아테네가 문화 의 중심지였다. 그래서 노크라데스 부부는 아들에게 좋은 교육을 시키기 위해 유클리드를 아테네 에게 유학시켰으며, 플라톤 학파의 아카데미에서 학교 교육을 받게 하였다.

머리가 좋은 유클리드는 그 교리와 이치를 정통하였으며 특히 수학에 비범한 재능을 발휘하였다. 한편 알렉산더 대왕은 BC 336년에 20세의 젊은 나이로 마케도니아의 왕으로 즉위하였다. 그후 BC 332년에는 그리스를 비롯한 소아시아와 이집트 등을 차례로 정복하여 세계에서 가장 장엄한 도시를 건설하여 자신의 이름을 붙이려고 계획하였다. 그리하여 이집트의 나일강가에 있는 한 촌 락이 후보지로 선정되었고, 그 시대에 가장 유명하고 기술이 있는 디노크라테스(Dinocrates)를 초청하여 아름답고 화려하며 거대한 도시를 건설하였다. 그리고 그 도시의 이름을 알렉산드리아로 지었으며 그 시대 정치, 경제의 중심지를 이룩하였다.

BC 323년, 젊은 나이로 알렉산더 대왕이 서거하자, 그 부하들 중 가장 탁월한 정치가였던 프톨레 마이오스(Ptolemaios BC 367 ?～BC 285)가 이집트 땅에 군림하여 알렉산드리아를 수도로 정하였다.

프틀레마이오스는 문화 정책에도 큰 관심을 가졌으며 데메트리오스가 설계 감독한 60만개의 원형 기둥으로 된 대형 도서관을 비롯하여 박물관, 동물원, 식물원, 실험소 등을 건설하였고, 특히 왕궁 가까운 곳에 세계 최초로 대학을 건설하였다. BC 300년경에 대학이 준공되자 그는 아테네로부터 그 당시의 이름 있는 학자들을 모두 초청하였다.

물론 유클리드도 초청되어 이 대학 수학 교수의 우두머리가 되었다. 그 후 알렉산드리아는 오랫동안 문화의 중심지가 되었으며 알렉산드리아 문화의 황금 시대를 열게 되었다. 전란의 참화와 폭 군의 학정을 피하여, 평화로운 곳에서 진정한 학문을 연구하려는 젊은 학도들이 사방에서 구름같이 몰려와 알렉산드리아는 문자 그대로 문화의 황금 시대를 이루게 되었다.

그 후 흥망 성쇠는 있었으나 문화의 중심지로서 오랫동안 번영하다가 AD 641년 12월 10일 알렉산더 대왕으로부터 약 1000년 후, 사라센의 장군오마루가 이 도시를 함락하였다. 이때 시가지는 불꽃 속에 타버리고 도서관과 대학 건물들은 무참히 파괴되었으며, 수많은 귀중한 문서와 책들이 재가 되고 말았다.

이때의 이야기로는 그리스의 학도들이 도서관을 지키기 위해 오마루 장군에게 도서관 보전을 애 원하였으나 그는 이를 듣지 않고 수만 권의 귀중한 서적을 공중 목욕탕으로 끌어내어 전부 태워 버렸다 하는데 이때 걸린 시간이 6개월이나 되었다고 한다.

유클리드의 저서는 많은데, 그 중에서 가장 유명한 것이 <기하학 원본>이라는 교과서로서 전부 13권으로 되어 있다. (그 후 2권이 더 첨가되어 15권이 원본이라고도 한다.)

이 책은 그의 선배인 피타고라스, 플라톤, 히포크라테스 등이 연구한 여러 가지 자료를 정선하고 거기에 자신의 창작을 가미하여 조직적인 교과서로 편찬한 것으로서 수학사상 최고의 성전(聖典)이라고도 할 만한 것으로서 이 책의 번역본은 수없이 많다. 그러나 유클리드가 직접 쓴 그리스어의 원본은 전해지지 않으며, 테온(Theon)이라는 사람이 쓴 교정본을 참고로 하이베르그(Heiberg)라는 독일 사람이 1883년에서 1888년 사이에 복사한 것이 전해지고 있는데 현재 귀중한 수학 서적으로 보존되고 있다.

http://my.netian.com/~goldhoon/uclid.htm

2.유클리드 이야기

① 첫 번째 혁명

유클리드는 기하학의 중요한 법칙을 단 하나도 스스로 발견하지 못한 사람일 수도 있다. 그러나 그는 유사 이래 가장 잘 알려진 기하학자이며, 그럴 만한 타당한 이유가 있다. 수천 년 동안 사람들은 가장 먼저 그의 창을 통해서 기하학을 보아왔다. 우리의 논의 속에서 유클리드는 공간의 개념에 일어난 첫 번째 커다란 혁명 추상화와 증명의 탄생을 대변하는 인물이다.

공간개념은 자연스럽게 장소개념, 우리가 머무는 장소인 땅의 개념에서 시작되었다. 이집트인들과 바빌로니아인들이 토지측량이라고 불렀던 것이 발전하면서 공간개념이 시작되었다. 토지측량을 그리스어로 표현하면 기하학(geometry)이 된다. 그리스인들은 수학을 적용함으로써 자연을 이해할수 있다는 것을 깨달은 최초의 사람들이다. 기하학을 단지 기술하기 위해서뿐만 아니라 감추어진 것을 밝혀내기 위해서 사용할 수 있다는 것을 그들은 간파했다. 그리스인들은 돌멩이나 모래를 단순히 표현하는 수준에 있던 기하학을 발전시켜서 이상적인 점, 선, 평면의 개념을 추출했다. 그들은 창을 가리는 물질들을 제거하고 문명이 이제껏 경험하지 못한 아름다움을 지닌 구조를 밝혀냈다. 수학의 발명을 위한 이러한 노력의 정점에 유클리드가 있다. 유클리드 이야기는 혁명의 이야기이다. 공리와 정리와 증명에 관한 이야기이며, 이성 자체의 탄생에 관한 이야기이다.

② 유클리드의 선언

유클리드의 일상적인 삶에 관해서는 지금껏 아무것도 전해지는 것은 없다. 하지만 지금 우리가 유클리드를 위대한 업적을 남긴 위인이라고 치켜세우는 것은 단지 그가 알렉산드리아에 학교를 세웠으며, 뛰어난 학생들을 가르쳤고, 유물론을 비웃었으며 최소한 두 권이 책을 썼다는 점일뿐이다. 하지만 유클리드가 쓴 이 두 권의 책을 통하여 어느 누구도 그가 평범한 사람이라고 말할 수는 없을 것이다. 그 두 권중 오늘날 사라지고 없는 한 권은 원추곡선, 즉 평면과 원뿔이 만날 때 생기는 곡선에 관한 것으로 훗날 천문학과 항해술을 획기적으로 발전시킨 아폴로니우스의 기념비적 연구에 토대가 되었다.

그리고 또 한 권의 유명한 책 「기하학 원본」은 세상에서 가장 널리 읽힌 책들중 하나이다. 우선 「기하학 원본」은 현재 남아 있는 원본은 전혀 없지만, 책이 아니라 열세개의 양피지 두루마리였다고 한다. 그중 처음 네 개의 두루마리는 유클리드의 「기하학 원본」이전에도 있었던 내용이다. 기원전 400년경 히포크라테스라는 학자가 「기하학 원본」이라는 제목의 작품을 썻는데, 유클리드의 처음 두루마리 네 개에 있는 내용들은 거의 대부분 이 작품을 그대로 인용한 것이라고 믿어진다. 「기하학 원본」에 담긴 어떤 내용도 유클리드의 독창적인 창작이라고 보장할 수 없다. 유클리드는 어떤 정리에 관해서도 자신의 창작임을 주장하지 않았다. 그는 자신의 역할이 그리스인들의 기하학 지식을 조직화하고 체계화하는 것이라고 여겼다. 유클리드는 물리적 세계에 기대지 않고 순수한 사유만으로 2차원 공간의 성질을 포괄적으로 설명한 최초의 종합적 기획자 이다.

유클리드의 「기하학 원본」이 이룬 가장 중요한 업적은 혁신적인 논리적 방법이다 첫째, 명시적인 정의를 만들어 용어들을 분명히 함으로써 사람들이 모든 단어와 기호를 서로 동일하게 이해할 수 있도록 한다. 다음으로, 공리 혹은 전제를 명시적으로 밝힘으로써 진술되지 않은 이해나 가정이 사용되지 않도록 한다. 마지막으로, 공리와 앞서 증명된 절리에 허용된 논리적 규칙만을 적용하여 귀결을 도출한다.

유클리드의 목표는 자신의 체계에서 직관에 근거한 무의식적 가정이나 추측이나 부정확성을 추방하는 것이었다. 그는 스물세 개의 정의와 다섯 개의 공리와, 그가 일반 관념이라고 부른 다섯 개의 부가적인 공리를 제시했다. 이들을 토대로 그는 465개의 정리를 증명했다.

유클리드가 정의한 용어들 중에는 점, 선 (그의 정의에서는 곡선일 수도 있다.), 직선, 원, 직각, 표면, 평면 등이 들어 있다. 이 용어들 중 일부를 그는 매우 정확하게 정의한다. 유클리드에 따르면, 평행선들은 한 평면에 있으면서 양쪽 방향으로 무제한 연장되며 어느 방향에서도 서로 만나지 않는 직선들이다.

원은 한선으로 이루어진 평면도형으로, 원의 내부에 있는 중심이라고 부르는 한점에서 원위로 그은 모든 직선들이 서로 같다.라고 정의 하였고, 직각의 정의란 직선과 직선이 만나서 이루어진 인접한 두 각의 크기가 서로 같다면, 두 각은 직각과 같다. 라고 정의 하였다.

유클리드의 다른 몇 가지 정의들, 예를 들면 점이나 선의 정의는 불분명하고 거의 무용하다. 직선은 점들로 이루어진 곧은 선이라고 정의되었다.

유클리드가 제시한 일반 관념들은 보다 훌륭하다. 이들은 기하학적 명제들이 아니라 논리적 명제들로, 유클리드는 이들이 전형적인 가하학 명제인 공리와는 다른 상식이라고 여겼던 것으로 보인다. 이보다 앞서 아리스토텔레스도 같은 구분을 했다. 이 직관적 가정들을 명시적으로 밝힘으로서 유클리드는 사실상 공리를 더 도입하고 있지만, 그는 아마도 이들을 순수한 기하학 명제와 구분해야 한다고 느꼈던 것 같다. 이런 명제들을 진숧할 필요가 있음을 생각했다는 것 자체가 유클리드의 생각의 깊이를 보여준다.

1. 둘 다 세 번째 것과 같은 두 개의 것은 서로 같다.

2. 같은 것에 같은 것을 더하면 합은 같다.

3. 같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지는 같다.

4. 서로 일치하는 것들은 서로 같다.

5. 전체는 부분보다 크다.

이 예비적인 명제들 외에 다섯 개의 공리들이 유클리드 기하학의 기초가 되는 기하학적 내용을 이룬다. 처음 네 개의 공리들은 간단하고 충분히 명쾌하게 표현된다.

1. 임의의 두 점이 있으면, 그 두 점을 끝점으로 하는 한 개의 선분을 그을 수 있다.

2. 임의의 선분은 어느 방향으로나 무제한으로 연장될 수 있다.

3. 임의의 점에 대해서, 그 점을 중심으로 해서 임의의 반지름으로 원을 그릴 수 있다.

4. 모든 직각은 같다.

5. 두 직선을 가로지르는 선분이 있어서, 선분을 기준으로 같은 쪽에 있는 교차각 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선은 결국 만난다.

공리 1과 2는 우리의 경험과 일치하는 듯이 보인다. 우리는 한점에서 다른 점까지 선분을 그을 줄 안다고 느끼며, 공간의 끝에서 장벽에 도달해 직선을 더 이상 연장할 수 없는 경험을 해본 적이 있다. 유클리드의 세 번째 공리는 약간 더 미묘하다. 이 공리는 원을 그리기 위해서 반지름을 나타내는 선분을 움직여도 그 선분의 길이가 변하지 않도록 공간상의 거리가 정의되었다는 것을 함축한다. 네 번째 공리는 간단하고 자명해 보인다. 그러나 직각의 정의를 회상해보면 이 공리 역시 미묘함을 알 수 있다. 직각은, 한 직선이 다른 직선과 만나면서 교차점에서의 인접각이 서로 같도록 만날 때 만들어지는 각이다. 우리는 물론 두 직선이 그렇게 만나는 것을 많이 보아왔다. 한 직선이 다른 직선과 수직으로 만날 때 교차각은 모두 90도인 것이다. 그러나 정의만 보면 반드시 그렇다고 할 수 없다. 심지어 정의에는 각이 항상 같은 수가 된다는 것조차 명시되어 있지 않다. 두 직선이 어떤 특정 지점에서 만나면 교차각이 90도이고, 다른 지점에서 만나면 다른 값이 되는 수도 있다. 그러므로 모든 직각은 같다는 공리는 이런 일이 생길 수 없음을 단언하는 것이다. 다시 말해서 이 공리는 직선이 어느 부분에서나 같은 모양이라는 것을, 즉 일종의 곧음조건을 말하고 있는 것이다.

유클리드의 다섯 번째 공리는 평생선 공리라고 부르며 다른 공리들과는 달리 직관적이지도 자명적이지도 않다. 이 공리는 유클리드가 수집한 기존의 것이 아니라 그 자신의 창작이다. 그러나 되도록이면 이 공리를 사용하지 않으려고 애썼던 것으로 보아 그가 이 공리를 좋아하지 않았다는 것을 추측할 수 있다. 후대의 수학자들도 이 공리를 좋아하지 않았다. 그들은 이 공리가 공리로서는 너무 복잡하다고, 증명 가능한 정리가 되어야 한다고 생각했다. 다섯 번째 공리는 평행선 공리는 한 평면에 있는 두 직선이 서로 가까워지는지, 평행한지, 혹은 멀어지는지를 알 수 있게 해준다.

평행 공리를 위반하는 방법은 두 가지이다. 평행선이 전혀 없는 경우, 그리고 한 외부점을 통과하는 평행선이 하나 이상인 경우이다. 하지만 종이 위에 직선을 그리고 직선 외부에 점 하나를 찍어보아서 그점을 통과하는 평행선을 그을 수 없는 경우가 있을까? 하나 이상의 평행선을 그릴 수 있을까? 평행선 공리는 우리의 세계를 기술하는 것일까? 평행선 공리를 위반하는 기하학이 수학적으로 일관적일 수 있을까?

평생선 공리는 우리의 세계를 기술하는 것일까? 하는 질문과 평행선 공리를 위반하는 기하학이 수학적으로 일관적일 수 있을까? 하는 두 질문은 우리의 우주관과 수학의 의미와 본성에 관한 우리의 앎을 혁명적으로 바꾸었다. 하지만 2,000여 년의 세월 동안 유클리드의 제5공리가 표현한 단하나의 평행선이 있다는 사실만큼 보편적으로 인정된 것은 인류 학문의 어느 분야에서도 찾아보기 어렵다.

『유클리드의 창:기하학 이야기』[2002.6.] <레오나르드 믈로디노프>

③ 공준과 일반 개념(공리)에 대한 논란

공준 4의 의미는 확실히 명백하지만, 이것이 공준으로 분류되는 것이 적절한지에 대한 많은 논란이 있었다. 만약 이것이 정리로 분류된다면, 이것의 증명은 이웃하는 한 쌍의 직각과 또 다른 그와 같은 쌍을 적용함으로써 이루어져야만 할 것이다. 그러나 유클리드는 될 수 있으면 포갬에 의한 증명(proof by superposition)을 피하기를 선호했다. 여하튼 유클리드는 공준 4를 공준 5 앞에 위치시켜야만 했는데, 그 이유는 어떤 두 내각의 합이 두 직각보다 작다는 공준 5의 조건은 모든 직각은 같다는 사실을 먼저 명백히 하지 않으면 쓸모가 없기 때문이다.

유클리드의 평행선 공준이라 부르는 공준 5는, 수학사에서 가장 유명한 명제 중 하나가 되었다. 다른 네 가지 공준보다 이 공준이 유클리드로부터 유래했다는 증거가 더 많다. 아리스토텔레스는 그 당시에 널리 알려진 평행선 이론과 관련된 논점의 선취(petitio prinsipii: 전제가 될 논점을 포함한 원리를 증명 없이 가정하는 오류) 또는 추론의 순환에 대해 언급하고 있다. 이아 같은 어려움을 피할 수 있는 유일한 방법은, 기하학의 전개에 대단히 필수적인 평행선 이론에 대한 기초로서 어떤 공준을 설정해야 한다고 유클리드가 인식한 것은 그의 수학적 통찰력의 일면을 보여준다. 유클리드가 공식화한 이 공준은 그런 목적을 훌륭하게 만족시켰으며, 또한 그와 동시에 도형에서 두 직선을 연장할 때 만날 것인지 아닌지에 대한 기준을 제공했다. 이 사실은 그 뒤에 유클리드의 공준을 바꾸려고 제안된 대용물들보다 그의 공준이 갖는 더 좋은 장점이다.

공리 4는 그 주제에 있어서 일반적이라기보다는 특수하고 이에 따라서 공리가 아니라 공준으로 나열되어야 한다는 근거에서 비판을 받았다.

④ 유클리드의 원론의 논리적 결함

유클리드의 원론은 공리적 방법의 매우 초기의 광범위한 적용이었기 때문에, 이 책에서 논리적 결함을 발견한다해도 이 책에 대한 큰 불명예가 될 수 없다. 아마도 이런 결함 중에서 가장 중대한 것은 그 뒤의 추론에서는 사용되었지만 이 책의 제 1의 원리로 받아들여지지 않은 묵시적인 가정들일 것이다. 이와 같은 위험은 주제가 저자에게 너무 친숙할 때 모든 연역적 연구에 존재한다.

또한 유클리드의 책은 그의 예비적인 정의의 일부에서 비판의 대상이 될 수 있다. 실질적 공리학의 그리스적 양식에 따라서, 유클리드는 논설에 등장하는 모든 용어를 정의하거나 적어도 설명하려는 일련의 시도를 했다. 실제로, 한 논설의 모든 명제를 증명하는 것과 같이 그 논설의 모든 용어를 명시적으로 정의하기는 불가능하다. 이런 관점에서, 기본적인 용어는 공준을 만족시키는 어떤 대상 또는 개념이라는 의미에서 암시적으로 정의된 것으로 간주될 수 있다. 그리고 이런 암시적 정의는 기본적인 용어가 얻을 수 있는 유일한 종류의 정의이다.

⑤ 유클리드에 관계된 일화

ⅰ) "기하학에 왕도란 없다 "

유클리드가 알렉산드리아 대학에서 수학을 가르칠 때, 자신이 쓴 원론을 교재로 학생들을 가르쳤다. 그러나 제자들은 어려워 좀처럼 이해할 수 없었다.

제자들 중에는 왕자인 프톨레마이오스 2세가 있었는데, 어느 날은 왕자가 원론을 좀더 쉽게 배우는 법이 없는지 물었다. 그러자 유클리드가 대답하기를 "현세에는 두 가지 종류, 즉 평민이 다니는 길과 왕이 다니도록 확보해둔 길이 있습니다. 그러나 기하학엔 왕도가 없습니다." 라고 대답했다고 한다.

ⅱ) "동전이나 던져 주어라"

유클리드가 알렉산드리아 대학에서 가르치게 되자 유클리드의 명성은 나날이 높아져 많은 학생들이 알렉산드리아로 몰려들게 되었다. 그러나 대부분의 학생은 원론의 내용이 너무 어려워 내용을 잘 이해하지 못했다.

그래서 알렉산드리아가 유학 온 어떤 제자가

" 선생님! 이런 어려운 원론을 배우면 어떠한 이익이 있습니까?"

라고 묻자 유클리드는 즉시 하인을 불러

" 그에게 동전 한 닢을 주어라. 그는 자기가 배운 것으로부터 꼭 무엇을 얻어야 한다고 생각하니까..."

하며 동전을 던져주고는 고향으로 돌려보내 버리고 말았다.

http://211.248.118.200/root2/Study/mathematician/유클리드.htm

3. 유클리드의 기하학 원론

참고문헌으로 여러 기하학 원론에 관한 책을 보았지만 그 분량이 방대하여 모두 정리하기는 어려웠습니다. 이 부분에서는 유클리드의 다양한 법칙들을 소개하고 구분하여 정리해보도록 하겠습니다.. 그 법칙에 대한 증명은 유클리드의 「기하학 원론」을 참고 하시길 바랍니다.

① 직선, 각, 삼각형

법칙1. 유한한 길이의 직선을 주었을 때, 그것을 써서 정삼각형을 만들 수 있다.

법칙2. 유한한 길이의 직선과 어떤 점을 주었을 때, 그 점을 끝점으로 하여 주어진 직선과 길이 가 같은 직선을 그을 수 있다.

법칙3. 길이가 다른 두 직선을 주었을 때, 긴 직선에서 짧은 직선의 길이만큼 잘라 낼 수 있다.

법칙4. 두 삼각형이 있는데, 두 변이 각각 길이가 같고, 그 두변이 만드는 각이 크기가 같다고 하자. 그러면 나머지 한 변도 길이가 서로 같으며, 두 삼각형은 서로 같다. 따라서 나머 지두 각도 각각 크기가 같다. 바꿔 말하면, 같은 길이인 변과 마주 보는 각은 서로 크기 가 같다.

법칙5. 이등변 삼각형에서 두 밑각은 크기가 서로 같다. 길이가 같은 두 변을 길게 늘였을 때, 밑변 아래에 생기는 두 각도 크기가 서로 같다.

법칙6. 삼각형에서 두 각이 크기가 같으면, 그 각들과 마주 보는 두 변은 길이가 같다.

법칙7. 어떤 직선을 주었을 때, 그 양 끝점에서 두 직선을 그어 그들이 한 점에서 만나도록 해 삼각형을 만들어라. 직선의 양 끝에서 방금 그은 것과 같은 방향으로, 방금 그은 두 직 선들과 길이가 각각 같도록 두 직선을 그어서, 이들이 다른 어떤 점에서 만나 삼각형을 만들도록 할 수 없다.

법칙8. 두 삼각형이 있는데, 두 변의 길이가 두 변의 길이와 각각 같고, 밑변의 길이도 밑변의 길이와 같다고 하자. 그러면 같은 변들 사이에 놓이는 각들은 서로 크기가 같다.

법칙9. 어떤 직선각을 주었을 때, 그것을 이등분 할 수 있다.

법칙10. 유한한 길이의 직선을 주었을 때, 그것을 이등분 할 수 있다.

법칙11. 어떤 직선이 있고, 그 직선에서 한 점을 잡았을 때, 그 점을 지나고 주어진 직선과 수직 이 되는 직선을 그을 수 있다.

법칙12. 한없이 긴 직선이 있고, 그 직선에 있지 않는 어떤 점을 잡았을 때, 그 점에서 직선으로 수직선을 그을 수 있다.

법칙13. 직선에다 다른 한 직선을 세우면, 그것은 두 개의 직각을 만들거나, 또는 두 각을 더한 것이 두 개의 직각과 같은 크기가 된다.

법칙14. 어떤 직선의 한 점에서 두 직선을 서로 다른 방향으로 그었는데, 그들이 만드는 두 개의 이웃한 각을 더한 것이 직각을 두 개 더한 것과 크기가 같다고 하자. 그러면 두 직선은 한 직선에 놓인다.

법칙15. 두 직선이 만나면, 그들이 만드는 맞꼭지각들은 크기가 서로 같다.

- 두 직선이 만날 때, 그들이 만드는 네 각을 더한 것은 네 개의 직각을 더한 것과 크기 가 같다.

법칙16. 삼각형의 한 변을 길게 늘였을 때 생기는 바깥각은 삼각형의 다른 두 안각보다 더 크다.

법칙17. 삼각형에서 어떤 두 내각을 더해도 직각을 두 개 더한것보다 더 작다.

법칙18. 삼각형에서 더 긴 변과 마주 보는 각이 크기가 더 크다.

법칙19. 삼각형에서 더 큰 각과 마주 보는 변이 길이가 더 길다.

법칙20. 삼각형에서 두 변의 길이를 더하면 나머지 한 변보다 더 길다.

법칙21. 삼각형의 한 변의 양 끝점에서 두 직선을 그었는데, 그들이 삼각형의 내부에서 만난다고 하자. 그러면 그 두 직선의 길이를 더한 것은 삼각형의 나머지 두 변의 길이를 더한 것 보다 짧다. 그러나 그들이 만드는 각은 더 크다.

법칙22. 세 개의 직선을 주었을 때, 변들의 길이가 이들과 같은 삼각형을 만들 수 있다. 그러나 이 경우 두 직선의 길이를 더하면 나머지 한 직선보다 더 길다는 것을 가정해야 한다.

법칙23. 어떤 각을 주었다고 하자. 직선에서 한 점을 잡았을 때, 주어진 각과 같은 크기의 각을 그 점에서 만들 수 있다.

법칙24. 두 개의 삼각형이 있는데, 두 변의 길이가 두 변의 길이와 각각 같지만, 그들이 만드는 각은 크기가 서로 다르다고 하자. 그러면 더 큰 각을 가진 삼각형의 밑변이 길이가 더 길다.

법칙25. 두 개의 삼각형이 있는데, 두 변의 길이가 두 변의 길이와 각각 같지만, 밑변은 길이가 서로 다르다고 하자. 그러면 두 변이 만드는 각들 중에 더 긴 밑변과 마주 보는 각이 더 크다.

법칙26. 두 삼각형이 있는데, 두 각의 크기가 두 각의 크기와 각각 같고, 한 변의 길이가 한 변 의 길이와 같다고 하자. 즉, 크기가 서로 같은 각 사이에 놓이든 변이든, 또는 같은 크기 의 각과 마주 보는 변이든, 변의 길이가 같다고 하자. 그러면 나머지 변들도 나머지 변 들과 길이가 각각 같고, 나머지 각도 나머지 각과 크기가 같다.

법칙27. 두 직선이 있는데, 다른 한 직선을 그들과 만나도록 그었다고 하자. 이 때 생기는 엇각 들의 크기가 같으면, 두 직선은 서로 평행하다.

법칙28. 두 직선이 있는데, 다른 한 직선을 그들과 만나도록 그었다고 하자 이 때 생기는 외각이 같은 방향에 있는 다른 내각(동위각)과 크기가 같거나, 또는 같은 방향에 있는 두 내각 을 더한 것이 직각을 두 개 더한 것과 같은 크기이면, 두 직선은 서로 평행하다.

법칙29. 두 평행선이 있는데, 다른 한 직선을 이들과 만나도록 그었다고 하자. 그러면 이 때 생 기는 엇각들은 크기가 같다. 외각과 같은 방향에 있는 다른 내각(동위각)은 크기가 같다. 같은 방향에 있는 두 내각을 더하면 직각을 두 개 더한 것과 크기가 같다.

법칙30. 한 직선이 있는데, 두 직선이 이것과 평행하다고 하자. 그러면 두 직선도 서로 평행하다.

법칙31. 한 점과 직선을 주었을 때, 그 점을 지나고 주어진 직선과 평행한 직선을 그을 수 있다.

법칙32. 삼각형의 한 변을 길게 늘여라. 이 때 생기는 외각의 크기는 다른 두 내각을 더한 것과 같다. 따라서 삼각형의 세 내각을 더하면 직각을 두 개 더한 것과 크기가 같다.

법칙33. 길이가 같고 평행한 두 개의 직선이 있다고 하자. 이들의 양 끝점을 같은 방향에 있는 것들을 서로 이으면, 이 때 생기는 두 개의 직선도 길이가 같고 평행하다.

법칙34. 어떤 사각형이 마주 보는 변들이 서로 평행하다고 하자. 그러면 마주 보는 변들은 길이 가 같고, 마주 보는 각들은 크기가 같다. 그리고 맞모금은 넓이를 이등분한다.

법칙35. 두 평행사변형의 밑변이 같고, 윗변이 한 직선에 놓인다고 하자. 그러면 이들은 넓이가 같다.

법칙36. 두 평행사변형이 같은 평생선들에 놓여 있다고 하자. 이들의 밑변의 길이가 같으면, 이 들은 넓이가 같다.

법칙37. 두 삼각형의 밑변이 같고, 같은 평행선들에 놓여 있다고 하자. 그러면 이들은 넓이가 같 다.

법칙38. 두 삼각형이 같은 평행선들에 놓여 있다고 하자. 이들의 밑변의 길이가 같으면, 이들은 넓이가 같다.

법칙39. 두 삼각형의 넓이가 같고 밑변이 같다고 하자. 이들이 같은 방향에 놓여 있다면, 이들은 같은 평행선들에 놓여 있다.

법칙40. 두 삼각형의 넓이가 같고 밑변의 길이가 같다고 하자. 이들이 같은 방향에 놓여 있다면, 이들은 같은 평행선들에 놓여 있다.

법칙41. 평행사변형과 삼각형이 있는데, 이들이 밑변이 같고 같은 평행선들에 놓여 있다고 하자. 그러면 평행사변형의 넓이는 삼각형 넓이의 두 배이다.

법칙42. 어떤 각과 삼각형을 주었을 때, 넓이가 그 삼각형의 넓이와 같고 주어진 각을 가지는 평 행사변형을 만들 수 있다.

법칙43. 평행사변형이 있으면, 그 맞모금에서 생기는 평행사변형들을 빼고 남는 것들은 넓이가 같다.

법칙44. 어떤 직선, 어떤 각, 어떤 삼각형을 주었을 때, 주어진 직선과 각을 가지는 평행사변형을 만들되, 그 넓이가 주어진 삼각형의 넓이와 같도록 만들 수 있다.

법칙45. 어떤 다각형과 어떤 각을 주었을 때, 그 다각형과 같은 넓이를 가지고 주어진 각을 가지 는 평행사변형을 만들 수 있다.

법칙46. 어떤 직선을 주었을 때, 그것을 한변으로 가지는 정사각형을 만들 수 있다.

법칙47. 직각삼각형에서 직각과 마주 보는 변을 가지고 정사각형을 만들면, 그 정사각형은 다른 변들을 가지고 만든 정사각형들을 더한 것과 넓이가 같다.

법칙48. 어떤 삼각형이 있는데, 한 변을 가지고 만든 정사각형의 넓이가 다른 변들을 가지고 만 든 정사각형들의 넓이를 더한 것과 같다고 하자. 그러면 다른 변들 사이에 있는 각이 직 각이다.

② 도형의 넓이

법칙1. 두 개의 직선이 있는데, 한 직선을 잘라서 몇 개라도 좋으니까 여러 토막을 내라. 그러면 두 직선을 가지고 만든 직사각형의 넓이는, 자르지 않은 직선과 각각의 토막을 가지고 만든 직사각형들의 넓이를 더한 것과 같다.

법칙2. 어떤 직선을 아무 점이나 잡아서 토막냈다고 하자. 그러면 원래 직선과 그 토막들을 가 지고 만든 직사각형들의 넓이를 더하면, 원래 직선을 가지고 만든 정사각형의 넓이와 같 다.

법칙3. 어떤 직선을 아무 점이나 잡아서 잘랐다고 하자. 그러면 그 중 한 토막과 전체 직선을 가지고 만든 직사각형의 넓이는, 그 한 토막을 가지고 만든 정사각형과 토막들을 가지고 만든 직사각형의 넓이를 더한 것과 같다.

법칙4. 어떤 직선을 아무 점이나 잡아서 토막냈다고 하자. 그러면 전체 직선으로 만든 정사각형 의 넓이는, 각각의 토막들로 만든 정사각형들의 넓이에다 토막들로 만든 직사각형 넓이 의 두 배를 더한 것과 같다.

법칙5. 직선을 길이가 같도록 두 토막을 내 보고, 또 다른 어떤 점을 잡아서 길이가 다르도록 두 토막을 내보자. 그러면 길이가 다른 두 토막을 가지고 만든 직사각형에다 자른 점들 사이의 직선을 가지고 만든 정사각형을 더하면, 그것은 전체 길이의 절반을 가지고 만든 정사각형과 넓이가 같다.

법칙6. 어떤 직선을 이등분한 다음, 거기에다 다른 어떤 직선을 한 줄이 되도록 붙여라. 그러면 직선 전체와 붙인 직선을 가지고 만든 직사각형에다 반토막을 가지고 만든 정사각형을 더하면, 그것은 반토막에다 직선을 붙인 것을 가지고 만든 정사각형과 넓이가 같다.

법칙7. 직선에서 아무 점이라도 좋으니 잡아서 직선을 토막내라. 그러면 직선 전체를 가지고 만 든 정사각형에다 한 토막을 가지고 만든 정사각형을 더하면, 그것은 직선 전체와 그 한 토막을 가지고 만든 직사각형의 두 배에다 다른 토막으로 만든 정사각형을 더한 것과 넓 이가 같다.

법칙8. 직선에서 아무 점이라도 좋으니 잡아서 직선을 토막내라. 그러면 직선 전체와 한 토막을 가지고 만든 직사각형의 네 배에다 다른 토막으로 만든 정사각형을 더하면, 그것은 직선 전체에다 그 한 토막을 더한 직선을 가지고 만든 정사각형과 넓이가 같다.

법칙9. 직선을 길이가 같도록 두 토막을 내 보고, 또 다른 어떤 점을 잡아서 길이가 다르도록 두 토막을 내 보자. 그러면 길이가 다른 토막들을 가지고 만든 정사각형 두개를 더하면, 그것은 전체 길이의 절반을 가지고 만든 정사각형에다 자른 점들 사이의 직선을 가지고 만든 정사각형을 더한 것을 두 배 한 것과 넓이가 같다.

법칙10. 어떤 직선을 이등분한 다음, 거기에다 다른 어떤 직선을 한 줄이 되도록 붙여라. 그러면 원래 직선에다 다른 어떤 직선을 붙인 것을 가지고 정사각형을 만들고 거기에다 붙인 직 선으로 만든 정사각형을 더하면, 그것은 반토막으로 만든 정사각형과 반토막에다 다른 어떤 직선을 붙인 것을 가지고 만든 정사각형을 더한 것의 두 배가 된다.

법칙11. 어떤 직선을 주었을 때, 그것을 적당히 잘 잘라서 전체 길이와 한 토막을 가지고 만든 직사각형이 다른 토막을 가지고 만든 정사각형과 넓이가 같도록 만들 수 있다.

법칙12. 둔각 삼각형에서 둔각과 마주 보는 변을 가지고 만든 정사각형은 둔각을 끼고 있는 두 변들을 가지고 만든 정사각형들을 더한 것보다 더 넓다. 그 차이는, 둔각을 끼고 있는 한 변은 길게 늘이고 그것과 마주 보는 점에서 거기에 수직이 되도록 직선을 그었을 때, 그 변과 둔각의 바깥에서 수직선에 의해 잘린 부분을 가지고 만든 직사각형의 두 배이 다.

법칙13. 예각삼각형에서 예각과 마주 보는 변을 가지고 만든 정사각형은 예각을 끼고 있는 두 변 들을 가지고 만든 정사각형들을 더한 것보다 더 작다. 그 차이는, 다른 한 꼭지점에서 예각을 끼고 있는 변으로 수직선을 그었을 때, 그 변과 수직선에 의해 예각 쪽으로 잘린 부분을 가지고 만든 직사각형의 두 배이다.

법칙14. 어떤 다각형을 주었을 때, 그것과 넓이가 같은 정사각형을 만드시오.

③ 원

법칙1. 어떤 원을 주었을 때, 그 중점을 찾을 수 있다.

- 어떤 직선이 원을 지나는데 다른 어떤 직선이 그 직선을 수직으로 이등분하면, 원의 중 점은 수직으로 이등분하는 직선에 놓여 있음이 명백하다.

법칙2. 원둘레에서 아무 점이라도 좋으니까 두 점을 잡은 다음 그들을 직선으로 이으면, 그 직 선은 원의 안쪽에 놓인다.

법칙3. 원의 중점을 지나는 직선이 중점을 지나지 않는 어떤 직선을 이등분하면, 그 직선을 수 직으로 자른다. 역으로, 수직으로 자르면, 그 직선을 이등분한다.

법칙4. 원에서 두 직선이 만나는데, 둘 다 우의 중점을 지나지 않는다고 하자. 그러면 이들이 둘 다 상대 직선을 이등분할 수는 없다.

법칙5. 두 원이 서로 자르고 지나가면, 이들은 중점이 같을 수가 없다.

법칙6. 두 원이 한 점에서 접하면, 이들은 중점이 같은 수가 없다.

법칙7. 원의 지름에서 중점이 아닌 어떤 점을 잡아라. 그 점에서 원둘레로 직선들을 그으면, 그 중 가장 긴 직선은 원의 중점을 지나는 것이고, 가장 짧은 것은 그 지름에서 그것을 제 외하고 남는 것이다. 다른 직선들도 원의 중점에 가까운 것이 먼 것보다 더 길다. 길이 가 같은 직선은 둘씩 존재하며, 가장 짧은 직선의 양쪽에 하나씩 존재한다.

법칙8. 원의 바깥에 어떤 점을 잡아라. 그 점에서 원둘레로 직선들을 그어서, 한 직선은 중점을 지나도록 긋고, 다른 직선들은 그냥 적당히 그어라. 그러면 원둘레의 오목한 부분에 닿 는 직선들 중에는 중점을 지나는 것이 가장 길다. 다른 직선들은 중점을 지나는 직선에 가까우면 가까울수록 멀리 있는 것들보다 더 길다. 반대로, 원둘레의 볼록한 부분에 닿 는 직선들 중에는 그 점과 지름 사이에 놓이는 직선이 가장 짧다. 다른 직선들은 가장 짧은 직선에 가까우면 가까울수록 멀리 있는 것들보다 더 짧다. 길이가 같은 직선은 그 점에서 둘씩 그을 수 있으며, 가장 짧은 직선의 양쪽에 하나씩 존재한다.

법칙9. 원의 안에서 한 점을 잡았는데, 그 점에서 원둘레로 길이가 같은 직선을 두 개보다 더 많이 그을 수 있다고 하자. 그러면 그 점은 원의 중점이다.

법칙10. 어떤 원을 다른 어떤 원을 두 점보다 더 많은 곳에서 자를 수가 없다.

법칙11. 두 원이 안에서 서로 접한다고 하자. 그들의 중점들을 잡은 다음, 그 중점들을 직선으로 이어서 그 직선을 길게 늘이면, 그 직선은 운들의 접점에 닿는다.

법칙12. 두 원이 바깥에서 서로 접한다고 하자. 그들의 중점들을 잇는 직선은 그 접점을 지난다.

법칙13. 어떤 원이 다른 어떤 원과 안에서 접하든, 바깥에서 접하든, 한 점보다 더 많은 곳에서 접할 수 없다.

법칙14. 원에서 길이가 같은 직선들은 중점에서 같은 거리에 놓여 있다. 그리고 중점에서 같은 거리에 있는 직선들은 길이가 같다.

법칙15. 원에 있는 직선들 중에 지름이 가장 길다. 나머지 직선들은 중점에 가까우면 가까울수록 중점에서 먼 직선들보다 더 길다.

법칙16. 지름의 끝점에서 지름에 수직이 되도록 직선을 그으면, 그 직선은 원의 바깥에 놓인다. 그 직선과 원둘레 사이에는 어떤한 직선도 놓일 수 없다. 반원이 만드는 각은 어떤한 직 선 예각보다도 크고, 그것을 뺏을 때 남은 각은 어떠한 직선 예각보다도 작다.

- 원의 지름의 끝점에서 지름에 수직이 되도록 그은 직선은 원에 접한다.

법칙17. 어떤 점과 원을 주었을 때, 원에 접하도록 그 점에서 직선을 그을 수 있다.

법칙18. 어떤 직선이 원에 접한다고 하자. 접점에서 원의 중점으로 직선을 그어라. 이렇게 그은 직선은 접선과 수직이다.

법칙19. 어떤 직선이 원에 접한다고 하자. 접점에서 그 접선과 직각을 이루도록 직선을 그어라. 원의 중점은 이렇게 그은 직선에 놓이게 된다.

법칙20. 원의 중점에서 만든 각(중심각)과 원둘레에서 만든 각(원주각)이 같은 호를 밑변으로 가 지면, 중점에서 만든 각(중심각)의 크기는 원둘레에서 만든 각(원주각)크기의 두 배가 된 다.

법칙21. 원에서 같은 활꼴의 내부원주각들은 크기가 같다.

법칙22. 원에 잇는 사각형에서 마주 보는 두 각을 더하면 직각을 두 개 더한 것과 크기가 같다.

법칙23. 어떤 직선을 주었을 때, 닮은꼴이면서 서로 다른 활꼴들을 같은 쪽에 그릴 수가 없다.

법칙24. 같은 길이인 직선들에 대해 닮은꼴 활꼴들을 만들면, 그 활꼴들은 서로 같다.

법칙25. 어떤 활꼴을 주었을 때, 그 활꼴을 가지는 완전한 원을 그릴 수 있다.

법칙26. 크기가 같은 원들에서 크기가 같은 각들은 길이가 같은 호들에 대응한다. 중점에 있는 각은 중점에 있는 각끼리, 원둘레에 있는 각은 각끼리 같은 호를 갖는다.

법칙27. 크기가 같은 원들에서 길이가 같은 호들에 대응하는 각들은 크기가 서로 같다. 중점에 있는 각은 중점에 있는 각끼리, 원둘레에 있는 각은 원둘레에 있는 각끼리 크기가 같다.

법칙28. 크기가 같은 원들에서 길이가 같은 직선들은 같은 호들을 만든다. 긴 호는 긴 호와 같 고, 짧은 호는 짧은 호와 같다.

법칙29. 크기가 같읕 원들에 있는 길이가 같은 호들은 같은 길이인 직선에 대응한다.

법칙30. 주어진 호를 이등분 할 수 있다.

법칙31. 반원의 내부원주각은 직각이다. 반원보다 더 큰 활꼴의 내부원주각은 직각보다 작고, 반 원보다 더 작은 활꼴의 내부원주각은 직각보다 크다. 반원보다 더 큰 활꼴의 각은 직각 보다 크고, 반원보다 더 작은 활꼴의 각은 직각보다 작다.

법칙32. 직선이 원에 접한다고 하자. 접점에서 직선을 그어서 원을 자르도록 해라. 그 직선과 접 선이 만드는 각은 반대쪽 활꼴의 내부원주각과 크기가 같다.

법칙33. 어떤 직선과 어떤 각을 주었을 때, 그 직선에 활꼴을 그려서 그 활꼴의 내부원주각이 주 어진 각과 크기가 같도록 만들 수 있다.

법칙34. 어떤 원과 어떤 각을 주었을 때, 내부원주각이 주어진 각과 같은 크기가 되는 활꼴을 잘 라낼 수 있다.

법칙35. 원에서 두 직선이 서로 자르고 지나가면, 한 직선의 토막들을 가지고 만든 직사각형은 다른 직선의 토막들을 가지고 만든 직사각형과 넓이가 같다.

법칙36. 원의 바깥에 잇는 점에서 원으로 두 직선을 그어서, 한 직선은 원을 자르도록 하고 다른 한 직선은 원에 접하도록 해라. 그러면 원을 자르는 직선의 전체 길이와 그 직선에서 원 의 볼록한 둘레에 닿기까지의 길이를 가지고 만든 직사각형은 접선을 가지고 만든 정사 각형과 넓이가 같다.

법칙37. 원의 바깥에 있는 점에서 원으로 두 직선을 그어서, 한 직선은 원을 자르도록 하고 다른 한 직선은 원에 닿도록 해라. 원을 자르는 직선의 전체 길이와 그 직선에서 원의 볼록한 둘레에 닿기까지의 길이를 가지고 만든 직사각형이 원에 닿는 직선을 가지고 만든 정사 각형과 넓이가 같다고 하자. 그러면 원에 닿는 직선은 원에 접한다.

④ 정다각형과 원

법칙1. 어떤 원과, 그 원의 지름보다 짧은 직선을 주었다고 하자. 그 원에다 주어진 직선과 같은 길이인 직선은 걸쳐 놓을 수 있다.

법칙2. 어떤 삼각형과 원을 주었다고 하자. 그 삼각형과 각들의 크기가 같은 삼각형(닮은꼴 삼 각형)을 주어진 원에 내접하도록 만들 수 있다.

법칙3. 어떤 삼각형과 원을 주었다고 하자. 그 삼각형과 각들의 크기가 같은 삼각형(닮은꼴 삼 각형)을 주어진 원에 외접하도록 만들 수 있다.

법칙4. 어떤 삼각형을 주었을　때, 그 안에 원을 내접시킬 수 있다.

법칙5. 어떤 삼각형을 주었을　때, 그 삼각형에 원을 외접시킬 수 있다.

법칙6. 어떤 원을 주었을 때, 그 안에 정사각형을 내접시킬 수 있다.

법칙7. 어떤 원을 주었을 때, 그 원에 정사각형을 외접시킬 수 있다.

법칙8. 정사각형을 주었을 때, 그 안에 원을 내접시킬 수 있다.

법칙9. 정사각형을 주었을 때, 거기에 원을 외접시킬 수 있다.

법칙10. 두 밑각의 크기가 나머지 한 각 크기의 두배가 되는 이등변 삼각형을 그릴 수 있다.

법칙11. 어떤 원을 주었을 때, 그 안에 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 같은 오각형을 내접시 킬 수 있다.

법칙12. 어떤 원을 주었을 때, 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 같은 오각형을 그 원에 외접시 킬 수 있다.

법칙13. 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 같은 오각형을 주었을 때, 그 안에 원을 내접시킬 수 있다.

법칙14. 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 같은 오각형을 주었을 때, 거기에 외접하는 원을 그 릴 수 있다.

법칙15. 어떤 원을 주었을 때, 그 안에 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 같은 육각형을 내접시 킬 수 있다.

법칙16. 어떤 원을 주었을 때, 그 안에다 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 같은 십오각형을 내 접시킬 수 있다.

- 오각형의 경우와 마찬가지로, 원둘레에 놓이는 점들에서 원에 접하는 직선을 그으면, 변들의 길이가 같고 각들의 크기가 같은 십오각형을 이 원에 외접하도록 그릴 수 있다. 정십오각형을 주었을 때 거기에 내접하는 원과 외접하는 원을 그릴 수 있다.

⑤ 비율

법칙1. 어떤 양들이 몇 개 있고, 다른 어떤 양들이 같은 개수 만큼 있는데, 어떤 양들은 다른 어 떤 양들에다 똑같은 수를 곱해서 얻은 곱들이라고 하자. 그러면 그 수가 얼마이든, 어떤 양들을 모두 더한 것은 다른 어떤 양들을 모두 더한 것에다 그 수를 곱해서 얻은 곱이 다.

법칙2. 여섯 개의 양들이 있다고 하자. 셋째는 넷째의 곱이고, 첫째는 둘째에 대해 그것과 같은 곱이라고 하자. 여섯째는 넷째의 곱이고, 다섯째는 둘째에 대해 그것과 같은 곱이라고 하자. 그러면 셋째와 여섯째를 더한 것은 넷째의 곱이고, 첫째와 다섯째를 더한 것은 둘 째에 대해 그것과 같은 곱이다.

법칙3. 첫째가 둘째에 대해서, 셋째가 넷째의 곱인 것과 같은 곱이라고 하자. 첫째와 셋째에 같 은 수를 곱해서 곱들을 얻으면, 같은 위치에 있는 양들의 비례식에 따라서 그것들은 각 각 둘째와 넷째에 대해서 같은 곱이 된다.

법칙4. 첫째와 둘째의 비율이 셋째와 넷째의 비율과 같다고 하자. 어떠한 수라도 좋으니까 같은 수를 첫째와 셋째에 곱해서 곱을 만들어라. 또 어떠한 수라도 좋으니까 같은 수를 둘째 와 넷째에 곱해서 곱을 만들어라. 그러면 첫째의 곱과 둘째의 곱의 비율은 셋째 곱과 넷 째의 곱의 비율과 같다.

법칙5. 어떤 양이 다른 어떤 양의 곱이라고 하자. 거기에서 어떤 부분들을 빼냈는데, 부분은 부 분에 대해서, 양이 양의 곱인 것과 같은 곱이라고 하자. 그러면 나머지도 나머지에 대해 서, 양이 양의 곱인 것과 같은 곱이 된다.

법칙6. 원래 두 개의 양들이 있는데, 거기에 같은 수를 곱해서 곱들을 얻었다고 하자. 그 곱들에 서 원래 양들에다 또 어떤 같은 수를 곱한 것을 뺐다고 하자. 그러면 그 나머지들은 원 래 양들과 같거나, 또는 원래 양들에 대해 같은 곱들이 된다.

법칙7. 같은 크기의 양들은 어떤 양에 대해서든 같은 비율을 가진다. 그리고 어떤 양이든 같은 크기의 양들에 대해 같은 비율을 가진다.

- 어떤 양들이 서로 비례하면, 전자들과 후자들을 바꾸어도 서로 비례한다. 즉 뒤집은 비 례식이 성립한다.

법칙8. 크기가 다른 양들을 어떤 양과 비교하면, 큰 것은 작은 것보다 비율이 더 크다. 어떤 양 을 크기가 다른 것들과 비교하면, 작은 것에 대한 비율을 큰 것에 대한 비율보다 더 크 다.

법칙9. 두 개의 양들이 어떤 양에 대해서 비율이 같으면, 두 개의 양들은 크기가 같다. 어떤 양 이 두 개의 양들에 대해서 비율이 같으면, 두 개의 양들은 크기가 같다.

법칙10. 두 개의 양들을 어떤 양에 대해서 비율들을 구했을 때, 비율이 더 큰 것이 더 크다. 어 떤 양을 두 개의 양들에 대해서 비율들을 구했을 때 비율이 더 작은 쪽이 더 크다.

법칙11. 두 비율들이 어떤 비율과 같으면, 그 두 비율들도 서로 같다.

법칙12. 어떠한 개수라도 좋으니까 여러 양들이 서로 비례한다고 하자. 그들 중의 한 전자와 후 자의 비율의 있을 텐데, 전자들을 모두 더한 것과 후자들을 모두 더한 것과의 비율은 그 비율과 같다.

법칙13. 첫째와 둘째의 비율은 셋째와 넷째의 비율과 같고, 셋째와 넷째의 비율은 다섯째와 여섯 째의 비율보다 더 크다고 하자. 그러면 첫째와 둘째의 비율도 다섯째와 여섯째의 비율보 다 더 크다.

법칙14. 첫째와 둘째의 비율이 셋째와 넷째의 비율과 같다고 하자. 만약 첫째가 셋째보다 더 크 면 둘째도 넷째보다 더 크고, 같으면 같고, 더 작으면 더 작다.

법칙15. 몫들의 비율은 같은 수를 곱해서 만든 곱들의 비율과 같다.

법칙16. 네 개의 양들이 서로 비례하면, 바꾼 비례식이 성립한다.

법칙17. 어떤 양들에 대해서 더한 비례식이 성립하면, 뺀 비례식도 성립한다.

법칙18. 어떤 양들에 대해서 뺀 비례식이 성립하면, 더한 비례식도 성립한다.

법칙19. 전체와 전체에서 몫들을 빼냈는데, 빼낸 몫들의 비율이 전체들의 비율과 같다고 하자. 그러면 나머지들의 비율도 전체들의 비율과 같다.

- 어떤 양들이 더한 비례식을 만족하면, 전자와 뺀 것과의 비례식도 만족한다.

법칙20. 세 개의 양들이 있고, 또 어떤 세 개의 양들이 있는데, 이들을 둘씩 둘씩 비율을 구할 수 있다고 하자. 그리고 그 비율들이 차례차례 같다고 하자. 그러면 첫째가 셋째보다 더 크면 넷째도 여섯째보다 더 크고, 같으면 같고, 더 작으면 더 작다.

법칙21. 세 개의 양들이 있고, 또 어떤 세 개의 양들이 있는데, 이들을 둘씩 둘씩 비율을 구할 수 있다고 하자. 그리고 그 비율들이 엇갈려 있다고 하자. 그러면 첫째가 셋째보다 더 크면 넷째도 여섯째보다 더 크고, 같으면 같고, 더 작으면 더 작다.

법칙22. 몇 개라도 좋으니 어떤 양들이 있고, 또 어떤 양들이 그와 같은 개수만큼 있다고 하자. 이들을 둘씩 둘씩 비율을 구할 수 있고, 그 비율들이 차례차례 같다고 하자. 그러면 같 은 위치에 있는 양들은 비율들이 같다. 즉, 첫째와 맨 마지막의 비율들이 서로 같다.

법칙23. 세 개의 양들이 있고, 또 어떤 세 개의 양들이 있는데, 이들을 둘씩 둘씩 비율을 구할 수 있다고 하자. 그리고 이 비율들이 서로 엇갈려 있다고 하자. 그러면 그 비율들이 결 국 같다. 즉, 첫째와 맨 마지막의 비율이 서로 같다.

법칙24. 여섯 개의 양들이 있는데, 첫째와 둘째의 비율은 셋째와 넷째의 비율과 같고, 다섯째와 둘째의 비율은 여섯째와 넷째의 비율과 같다고 하자. 그러면 첫째와 다섯째를 더한 것과 둘째의 비율은 셋째와 여섯째를 더한것과 넷째의 비율과 같다.

법칙25. 네 개의 양들이 서로 비례할 때, 가장 큰 것과 가장 작은 것을 더하면 나머지 둘을 더한 것보다 더 크다.

⑥ 닮은꼴

법칙1. 삼각형들이나 평행사변형들이 높이가 같으면, 그들의 넓이는 밑변의 길이에 비례한다.

법칙2. 삼각형의 한 변에 평행하도록 직선을 그으면, 그 직선은 삼각형의 변들을 같은 비율로 자른다. 역으로, 삼각형의 변들을 같은 비율로 자르면, 그 자른 점들을 잇는 직선은 삼각 형의 나머지 한 변에 평행하다.

법칙3. 삼각형의 한 각을 이등분하는 직선이 밑변을 자르도록 해라. 그러면 밑변의 두 토막들의 길이 비율은 삼각형의 나머지 두 변들의 길이 비율과 같다. 역으로, 밑변을 두 토막으로 잘라서 그 길이 비율이 삼각형의 나머지 두 변들의 길이 비율과 같도록 하면, 삼각형의 꼭지점에서 밑변의 자르는 점을 잇는 직선은 삼각형의 각을 이등분한다.

법칙4. 두 삼각형이 각들이 같다고 하자. 그러면 같은 각들을 끼고 있는 변들은 서로 비례한다. 그들은 바로 같은 크기의 각을 마주 보는 대응하는 변들이다.

법칙5. 두 삼각형이 변들이 비례한다고 하자. 그러면 그들은 각들이 같다. 대응하는 변들을 마주 보는 각들이 크기가 같다.

법칙6. 두 삼각형이 있는데, 한 각의 크기가 같고, 그 각을 끼고 있는 변들의 길이가 비례한다고 하자. 그러면 그 두 삼각형은 각들의 크기가 같다. 즉, 대응하는 변들을 마주 보는 각들 의 크기가 같다.

법칙7. 두 삼각형이 잇는데, 한각의 크기가 같고, 다른 어떤각을 끼고 있는 변들의 길이가 비례 한다고 가정하자. 그리고 나머지 한 각이 두 삼각형 모두 직각보다 더 크거나 직각보다 더 작다고 하자. 그러면 두 삼각형은 각들의 크기가 같다. 즉, 비례하는 변들을 마주 보 는 각들의 크가가 같다.

법칙8. 직각삼각형의 직각인 점에서 빗변에 수직이 되도록 직선을 그으면, 그 때 생기는 두 삼 각형들은 원래 삼각형과 닮은꼴이며, 이 둘도 서로 닮은꼴이다.

법칙9. 주이진 직선에서 어떤 몫을 잘라 낼 수 있다.

법칙10. 여러 토막으로 자른 직선과 한 토막인 직선을 주었을 때, 한 토막인 직선을 자른 직선과 같은 비율로 토막 낼 수 있다.

법칙11. 두 직선이 주었을 때, 그에 비례하도록 세 번째 직선을 잡을 수 있다.

법칙12. 세 직선을 주었을 때, 그에 비례하도록 네 번째 직선을 잡을 수 있다.

법칙13. 두 직선을 주었을 때, 그들의 비례 중항(기하 평균)을 찾을 수 있다.

법칙14. 넓이가 같고 각들의 크기가 같은 평형 사변형들에서 같은 크기의 각을 끼고 있는 변들은 역으로 비례한다. 그리고 각들의 크기가 같은 평행사변형들에서 같은 크기의 각을 끼고 있는 변들이 역으로 비례하면, 그 평행사변형들은 넓이가 같다.

법칙15. 넓이가 같은 두 삼각형이 한 각의 크기가 같다고 하자. 그러면 그 각을 끼고 있는 변들 은 역으로 비례한다. 그리고 한 각의 크기가 같은 삼각형들이 그 각을 끼고 있는 변들이 역으로 비례하면, 그 삼각형들은 넓이가 같다.

법칙16. 네 직선들이 서로 비례한다고 하자. 그러면 양 끝의 두 직선으로 만든 직사각형은 가운 데 두 직선으로 만든 직사각형과 넓이가 같다. 그리고 양 끝의 두 직선으로 만든 직사각 형이 가운데 두 직선으로 만든 직사각형과 넓이가 같으면, 네 직선들이 서로 비례한다.

법칙17. 세 직선들이 서로 비례한다고 하자. 그러면 양 끝의 두 직선으로 만든 직사각형은 가운 데 직선으로 만든 정사각형과 넓이가 같다. 그리고 양 끝의 두 직선으로 만든 직사각형 이 가운데 직선으로 만든 정사각형과 넓이가 같으면, 세 직선은 서로 비례한다.

법칙18. 어떤 다각형과 어떤 직선을 주었을 때, 그 직선 위에 주어진 다각형과 닮은꼴인 다각형 을 같은 방향으로 놓이도록 만들 수 있다.

법칙19. 닮은꼴 삼각형들의 넓이 비율은 길이 비율의 두 겹이다.

법칙20. 닮은꼴 다각형들은 닮은꼴 삼각형들로 쪼갤 수 있으며, 그 삼각형들의 개수는 같으며, 삼각형들의 넓이 비율은 전체 도형의 넓이 비율과 같다. 따라서 다각형들의 넓이 비율은 대응하는 변들의 비율의 두 겹이다.

법칙21. 한 다각형에 대해 닮은꼴인 두 다각형은 서로 닮은꼴이다.

법칙22. 네 직선이 서로 비례한다고 하자. 그 직선들 위에 닮은꼴 다각형들을 같은 형태로 놓아 라. 그러면 이 다각형들의 넓이는 서로 비례한다. 역으로 직선들 위에 닮은꼴 다각형들 을 같은 형태로 놓았을 때, 그들의 넓이가 서로 비례하면 그 직선들은 서로 비례한다.

법칙23. 각들의 크기가 같은 평행사변형들의 넓이 비율은 변들의 길이 비율을 곱한 것과 같다.

법칙24. 어떤 평행사변형이든 그 맞모금에서 그린 두 평행 사변형들은 전체 평행사변형과 닮은꼴 이며, 또한 서로 닮은꼴이다.

법칙25. 한 다각형과 닮은꼴이고 다른 어떤 다각형과 넓이가 같은 도형을 만들 수 있다.

법칙26. 한 평행사변형이 잇는데, 그것과 닮은꼴인 평행사변형을 같은 쪽에 놓아서 공통인 각을 가지도록 하면, 새로 그린 평행사변형은 전체 평행사변형의 맞모금에서 그린 것이다.

법칙27. 어떤 직선에다 평행사변형들을 그리는데, 그 직선의 절반에 놓이도록 그린 평행사변형들 과 닮은꼴이며 같은 방향에 놓인 평행사변형들을 빼버리고 그린다고 하자. 그러면 그 직 선의 절반에 놓이고, 빼는 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형이 가장 넓다.

법칙28. 어떤 직선과 어떤 다각형 어떤 평행사변형을 주었다고 하자. 주어진 평행사변형과 닮은 꼴인 평행사변형을 뺀 평행사변형으로서 다각형과 넓이가 같은 것을 그 직선 위에 그려 라. 그러니 다각형의 넓이는 뺀 평행사변형과 닮은꼴인 평행사변형을 직선의 절반에 그 린 것보다 넓지 않아야 한다.

법칙29. 어떤 직선과 어떤 다각형, 어떤 평행사변형을 주었다고 하자. 그 직선에다 주어진 다각 형과 같은 넓이를 가지는 평행사변형을 그려 놓되, 그 직선보다 주어진 평행사변형과 닮 은꼴인 평행사변형만큼 더 크도록 만드시오.

법칙30. 어떤 직선을 평균과 작은 것의 비율로 자를 수 있다.

법칙31. 직각삼각형의 세 변에다 닮은꼴인 도형들을 그려 놓았다고 하자 그러면 직각과 마주 보 는 변에 놓인 도형은 직각을 끼고 있는 두 변에 놓인 도형들을 더한 것과 넓이가 같다.

법칙32. 두 삼각형이 두 변들이 서로 비례한다고 하자. 두 삼각형을 한 점에서 만나도록 해서 대 응하는 변들이 평행하게 놓이도록 만들 수 있으면, 나머지 한 변은 한 직선에 놓인다.

법칙33. 같은 크기의 원에서 각들의 비율은 그 각들이 마주보는 호들의 길이 비율과 같다. 각이 원의 중점에 있든. 각이 원둘레에 있든 마찬가지이다.

⑦ 약수, 배수, 서로 남남, 홑수

법칙1. 서로 다른 두 수를 주었을 때, 작은 수를 큰 수에서 빼고, 남는 것들 중에서 작은 수를 큰 수에서 빼는 일을 되풀이해라. 만약 남는 수가 그 전 수를 잴 수가 없으면서 결국 1 이 되면 원래 수들은 서로 남남이다.

법칙2. 서로 한뿌리인 두 수를 주었을 때, 이들을 공통으로 재는 가장 큰 수를 구할 수 있다.

법칙3. 서로 남남이 아닌 세 수를 주었을 때, 이들을 공통으로 재는 가장 큰 수를 찾을 수 있다.

법칙4. 어떤 두 수가 있으면, 작은 수는 큰 수의 몫이거나 아니면 부분이다.

법칙5. 어떤 수가 어떤 수의 몫이라고 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 같은 몫이라고 하 자. 그러면 몫들을 더한 것은 곱들을 더한 것에 대해 앞에서 말한 것과 같은 몫이 된다.

법칙6. 어떤 수가 어떤수의 부분이라고 하자. 다른 어떤수가 다른 어떤수의 같은 부분이라고 하 자. 그러면 부분들을 더한 것은 전체 수들을 더한 것에 대해 앞에서 말한 것과 같은 부 분이 된다.

법칙7. 어떤 수가 어떤 수의 몫이라고 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 같은 몫이라고 하 자 그러면 몫에서 몫을 뺀 것은 곱에서 곱을 뺀 것에 대해 앞에서 말한 것과 같은 몫이 된다.

법칙8. 어떤 수가 어떤 수의 부분이라고 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 같은 부분이라고 하자. 그러면 부분에서 부분을 뺀 것은 전체 수에서 전체 수를 뺀 것에 대해 앞에서 말 한 것과 같은 부분이 된다.

법칙9. 어떤 수가 어떤 수의 몫이라고 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 같은 몫이라고 하 자. 그러면 바꾼 비례식에 따라서 첫째가 셋째에 대해 어떠한 몫, 어떠한 부분이 되든, 둘째는 넷째에 대해 그와 같은 몫, 같은 부분이 된다.

법칙10. 어떤 수가 어떤 수의 부분이라고 하자. 다른 어떤 수가 다른 어떤 수의 같은 부분이라고 하자 그러면 바꾼 비례식에 따라서 첫째가 셋째에 대해 어떠한 몫, 어떠한 부분이 되든, 둘째는 넷째에 대해 그와 같은 몫, 같은 부분이 된다.

법칙11. 전체와 전체의 비율이 뺀 수와 뺀 수의 비율과 같다고 하자. 그러면 나머지와 나머지의 비율도 또한 전체와 전체의 비율과 같다.

법칙12. 서로 비례하는 수들이 몇 개라도 좋으니 있다고 하자. 그러면 전자들을 모두 더한 것과 후자들을 모두 더한 것과의 비율은 그들 중 한 전자와 한 후자의 비율과 같다.

법칙13. 네 숫자들이 서로 비례하면 그들은 바꾸어 놓아도 서로 비례한다.

법칙14. 어떤 수들이 몇 개라도 좋으니 있다고 하고, 또 다른 어떤 수들이 그와 같은 개수만큼 있다고 하자. 이들을 둘씩 둘씩 잡아서 비율을 구하면 비율이 같다고 하자. 그러면 같은 위치에 있는 것들은 비율이 같다.

법칙15. 단위수(1)가 어떤 수를 재는데, 다른 어떤 수가 또 다른 어떤 수를 그와 똑같이 잰다고 하자. 그러면 바꾼 비례식에 따라서 단위수가 셋째를 재는 것과 똑같이 둘째는 넷째를 잰다.

법칙16. 두 수들을 서로 곱해서 어떤 수들을 만들면, 이 때 생기는 수들은 서로 크기가 같다.

법칙17. 어떤 수에다 두 수를 곱해서 새로운 수들을 만들어라. 그러면 이 때 생기는 수들은 곱하 는 수들과 같은 비율이 된다.

법칙18. 두 수에다 어떤 수를 곱해서 새로운 수들을 만들어라. 그러면 이때 생기는 수들은 원래 두 수들과 같은 비율이 된다.

법칙19 네 수들이 서로 비례하면, 첫째와 넷째를 곱해서 만든 수와 둘째와 셋째를 곱해서 만든 수는 서로 같다. 그리고 역으로 첫째와 넷째를 곱해서 만든 수와 둘째와 셋째를 곱해서 만든수가 서로 같으면, 네 수들은 서로 비례한다.

법칙20. 비율이 같은 수들 중에 제일 작은 수들은 비율이 같은 수들을 똑같이 잰다. 즉, 큰 수가 큰 수를 작은수가 작은 수를 재는 것이 똑같다.

법칙21. 서로 남남인 수들은 비율이 같은 수들 중에 가장 작은 수들이다.

법칙22. 같은 비율을 가지는 수들 중에 가장 작은 수들은 서로 남남이다.

법칙23. 두 수가 서로 남남이라고 하자. 어떤 수가 그들 중 한 수를 재면, 그것은 나머지 한 수 와 서로 남남이다.

법칙24. 두 수가 어떤 수와 서로 남남이라고 하자. 그러면 그 두수를 곱한 것도 어떤 수와 서로 남남이다.

법칙25. 두 수가 서로 남남이라고 하자. 그러면 한 수를 자신에다 곱해서 만든 수도 다른 한 수 와 서로 남남이다.

법칙26. 두 수가 다른 두 수와 모두 서로 남남이라고 하자. 그러면 그들을 곱한 것도 서로 남남 이다.

법칙27. 두 수가 서로 남남이라고 하자. 그러면 그들을 각각 자신에다 곱해서 만든 수들도 서로 남남이다. 그리고 원래 수들에다 곱해서 만든 수들을 곱하면, 이 때 생기는 수들도 서로 남남이다. 이런 식으로 얼마든지 계속해도 항상 서로 남남이다.

법칙28. 두 수가 서로 남남이라고 하자. 그러면 그들을 더한 것은 원래 두 수와 서로 남남이다. 역으로 두 수를 더한 것이 원래 두 수 중 하나와 서로 남남이면, 원래 두 수는 서로 남 남이다.

법칙29. 홑수는 자신이 재지 않는 모든 수와 서로 남남이다.

법칙30. 두 수를 곱해서 새로운 수를 만들었는데 어떤 홑수가 그것을 잰다고 하자, 그러면 그 홑 수는 원래 수들 중의 하나를 잰다.

법칙31. 합성수는 어떤 홑수로 잴 수 있다.

법칙32. 어떤 수는 홑수이거나, 아니면 어떤 홑수로 잴 수 있다.

법칙33. 몇 개라도 좋으니 여러 수들을 주었을 때, 그들과 비율이 같으면서 가장 작은 수들을 찾 을 수 있다.

법칙34. 두 수를 주었을 때, 이들이 재는 가장 작은수를 찾을 수 있다.

법칙35. 두 수가 어떤 수를 재면, 그들의 최소공배수도 그수를 잰다.

법칙36. 세 수를 주었을 때, 이들이 재는 가장 작은수를 찾을 수 있다.

법칙37. 어떤 수가 다른 어쩐 수를 잰다고 하자. 그러면 후자는 전자와 같은 이름으로 불리는 몫 을 가진다.

법칙38. 어떤 수가 어떤 몫을 가진다고 하자 그러면 그 몫과 같은 이름으로 불리는 수로 그 수를 잴 수 있다.

법칙39. 주어진 몫들을 가지는 가장 작은 수를 찾을 수 있다.

⑧ 수들의 비율

법칙1. 차례차례 구한 비율이 같은 수들이 몇 개라도 좋으니 있다고 하자. 그리고 양끝의 수들 이 서로 남남이라고 하자. 그러면 이 수들은 이들과 비율이 같은 수들 중에 가장 작은 수들이다.

법칙2. 어떤 비율을 주었다고 하자 수들을 몇 개라도 좋으니 요구하는 만큼, 차례차례 구한 비 율이 주어진 비율과 같고, 그 수들의 크기가 가장 작도록 잡을 수 있다.

법칙3. 수들이 몇 개라도 좋으니 차례차례 구한 비율이 같은 수들이 있다고 하자. 그리고 이들 과 비율이 같은 수들중에 이들이 가장 작다고 하자. 그러면 양 끝의 수들은 서로 남남이 다.

법칙4. 비율들을 몇 개라도 좋으니 가장 작은 수들을 써서 주어라. 이 때 주어진 비율들과 차례 차례 비율이 같으면서 가장 작은 수들을 잡을 수 있다.

법칙5. 평면수들의 비율은 그들 변의 비율들을 곱한 것과 같다.

법칙6. 차례차례 구한 비율이 같은 수딜이 몇 개라도 좋으니 있다고 하자 그리고 첫 번째 수가 두 번째 수를 재지 못 한다고 하자. 그러면 어떠한 수도 다른 수를 잴 수 없다.

법칙7. 차례차례 구한 비율이 같은 수들이 몇 개라도 좋으니 있다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 마지막 수를 잰다고 하자. 그러면 첫 번째 수는 두 번째 수도 잰다.

법칙8. 두 수 사이에 차례차례 구한 비율이 같도록 여러 수들을 넣을 수 있다고 하자. 그들 사 이에 넣을 수 있는 수들이 몇 개이든, 원래 수들과 비율이 같은 수들 사이에는 그 개수 만큼 수들을 넣어서 차례차례 구한 비율이 가도록 할 수 있다.

법칙9. 어떤 수가 서로 남남인데, 그 둘 사이에 여러 개의 수들을 넣어서 차례차례 구한 비율이 같도록 만들 수 있다고 하자. 그러면 그 사이에 넣을 수 있는 수들이 몇 개이든, 단위수 (1)와 이 두 수 사이에 각각 그만큼의 수들을 넣어서 차례차례 구한 비율이 같도록 만들 수 있다.

법칙10. 두 수와 단위수 사이에 각각 어떤 수들을 넣어서 차례차례 구한 비율이 같도록 만들 수 있으면, 그 수들이 몇 개이든, 두 수 사이에 그 개수 만큼 수들을 넣어서 차례차례 구한 비율이 같도록 할 수 있다.

법칙11. 두 제곱수 사이에는 비례중항을 하나 넣을 수 있다. 제곱수와 제곱수의 비율은 그들의 변과 변의 비율의 두겹이다.

법칙12. 두 세제곱수 사이에는 비례 중항을 둘 넣을 수 없다. 세제곱수와 세제곱수의 비율은 그 들의 변과 변의 비율의 세 겹이다.

법칙13. 차례차례 구한 비율이 같은 수들이 몇 개라도 좋으니 있다고 하자. 이들 각각에다 자신 을 곱해서 어떤 수들을 만들면, 그 수들도 차례차례 구한 비율이 같다. 원래 수들에다 이것들을 각각 곱해서 또 어떤 수들을 만들면, 그것들도 차례차례 구한 비율이 같다.

법칙14. 제곱수가 제곱수를 재면, 변은 변을 잰다. 역으로 변이 변을 재면, 제곱수는 제곱수를 잰 다.

법칙15. 세제곱수가 세제곱수를 재면, 변은 변을 잰다. 역으로 변이 변을 재면, 세제곱수는 세제 곱수를 잰다.

법칙16. 만약 제곱수가 제곱수를 재지 못하면, 변은 변을 재지 못한다. 역으로 변이 변을 재지 못하면 제곱수는 제곱수를 재지 못한다.

법칙17. 만약 세제곱수가 세제곱수를 재지 못하면, 변은 변을 재지 못한다. 역으로 변이 변을 재 지 못하면, 세제곱수는 세제곱수를 재지 못한다.

법칙18. 두 닮은꼴 평면수 사이에는 비례중항이 한 개 있다. 그리고 두 닮은꼴 평면수의 비율은 대응하는 변들의 비율의 두 겹이다.

법칙19. 두 닮은꼴 입체수 사이에는 비례 중항이 두 개 있다. 그리고 두 닮은꼴 입체수의 비율은 대응하는 변들의 비율의 세 겹이다.

법칙20. 두 수 사이에 비례 중항이 한 개 있으면, 두 수는 닮은꼴 평면수들이다.

법칙21. 두 수 사이에 비례 중항이 두 개 있으면, 두 수는 닮을꼴 입체수들이다.

법칙22. 세 수들이 있는데 차례차례 구한 비율이 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 제곱이라고 하자. 그러면 세 번째 수도 제곱이다.

법칙23. 네 수들이 있는데 차례차례 구한 비율이 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 세제곱이라 고 하자. 그러면 네 번째 수도 세제곱이다.

법칙24. 두 수의 비율이 제곱수와 제곱수의 비율과 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 제곱수라 고 하자. 그러면 두전째 수도 제곱수이다.

법칙25. 두 수의 비율이 세제곱수와 세제곱수의 비율과 같다고 하자. 그리고 첫 번째 수가 세제 곱수라고 하자. 그러면 두 번째 수도 세제곱수이다.

법칙26. 닮은꼴 평면수들의 비율은 제곱수와 제곱수의 비율과 같다.

법칙27. 닮은꼴 입체수들의 비율은 세제곱수와 세제곱수의 비율과 같다.

⑨ 홀수, 짝수, 홑수, 완전수

법칙1. 두 닮은꼴 평면수들을 곱해서 어떤 수를 만들면, 그 수는 제곱수이다.

법칙2, 두 수를 곱하니 제곱수가 되더라고 하자. 그러면 두수는 닮은꼴 평면수들이다.

법칙3. 세제곱수에다 자신을 곱해서 어떤 수를 만들면, 그 수도 세제곱수이다.

법칙4. 세제곱수에다 세제곱수를 곱해서 어떤 수를 만들면, 그 수도 세제곱수이다.

법칙5. 세제곱수에다 어떤 수를 곱했더니 세제곱수가 되더라고 하자. 그러면 곱한수도 세제곱수 이다.

법칙6. 어떤 수에다 자신을 곱했더니 세제곱수가 되더라고 하자 그러면 그 수 자신도 세제곱수 이다.

법칙7. 합성수에다 어떤 수를 곱하면, 그 결과는 입체수이다.

법칙8. 수들이 몇 개라도 좋으니 단위수부터 차례차례 구한 비율이 같다고 하자. 그러면 단위수 부터 쳐서 세 번째 수는 제곱수이다. 그리고 하나씩 빼고 뒤에 나오는 모든수들이 제곱 수들이다. 네 번째 수는 세제곱수이다 그리고 둘씩 빼고 뒤에 나오는 모든 수들이 세제 곱수들이다. 일곱 번째 수는 제곱수이면서 동시에 세제곱수이다. 그리고 다섯씩 빼고 뒤 에 나오는 모든 수들이 역시 그렇다.

법칙9. 수들이 몇 개라도 좋으니 단위수부터 차례차례 구한 비율이 같다고 하자 만약 단위수 다 음의 수가 제곱수이면, 나머지 수들도 모두 제곱수이다. 만약 단위수 다음의 수가 세제 곱수이면, 나머지 수들도 모두 세제곱수이다.

법칙10. 수들이 몇 개라도 좋으니 단위수부터 차례차례 구한 비율이 같다고 하자. 만약 단위수 다음의 수가 제곱수가 아니면, 단위수부터 쳐서 세 번째 수와 하나씩 빼고 위에 나오는 수들을 제외한 다른 수들은 모두 제곱수가 아니다. 그리고 단위수 다음의 수가 세제곱수 가 아니면, 단위수부터 쳐서 네 번째 수와 둘씩 빼고 뒤에 나오는 수들을 제외한 다른 수들은 모두 세제곱수가 아니다.

법칙11. 단위수부터 차례차례 구한 비율이 같은 수들이 몇 개라도 좋으니 있다고 하자. 그러면 작은 수는 큰 수를 재는데, 그 횟수를 이 비례하는 수들 중의 하나와 같다.

법칙12. 단위수부터 차례차례 구한 비율이 같은 수들이 몇 개라도 좋으니 있다고 하자. 그러면 홑수들 몇 개가 마지막 수를 재든, 그 홑수들은 단위수 다음의 수를 잰다.

법칙13. 수들이 몇 개라도 좋으니 단위수부터 차례차례 구한 비율이 같다고 하자. 그리고 단위수 다음의 수가 홑수라고 하자, 그러면 가장 큰 수는 이 비례하는 수들로만 잴 수 있고 다 른 수로는 잴 수 없다.

법칙14. 어떤 홑수들이 잴 수 있는 가장 작은 수는 그 홑수들을 제외한 다른 어떤한 홑수로도 잴 수 없다.

법칙15. 세 수들이 차례차례 구한 비율이 같으면서, 이런 비율을 가진 수들 중에 가장 작다고 하 자. 그러면 이들 중 둘을 더하면 나머지 한 수와 서로 남남이다.

법칙16. 두 수가 서로 남남이면, 두 번째 수는 어떠한 수에 대해서도 첫 번째 수와 두 번째 수의 비율과 같을 수가 없다.

법칙17. 차례차례 구한 비율이 같은 수들이 몇 개라도 좋으니 있다고 하자. 그리고 양 끝의 수들 이 서로 남남이라고 하자. 그러면 마지막 수는 어떤한 수에 대해서도 첫 번째 수와 두 번째 수의 비율과 같을 수가 없다.

법칙18. 두수를 주었을때 이들과 비례하는 세 번째 수를 찾는게 가능한지 알아볼수 있다.

법칙19. 세 수를 주었을 때 이들과 비례하는 네 번째 수를 찾는게 가능한지 알아볼수 있다.

법칙20. 홑수들을 몇 개를 주든, 그보다 더 많은 홑수들이 있다.

법칙21. 짝수들을 몇 개를 더하든 그 결과는 항상 짝수이다.

법칙22. 홀수들을 몇 개라도 좋으니 더해라. 만약 그 개수가 짝수이면 그 결과는 짝수이다.

법칙23. 홀수들을 몇 개라도 좋으니 더해라. 만약 그 개수가 홀수이면, 그 결과도 홀수이다.

법칙24. 짝수에서 짝수를 빼면 남는 것도 짝수이다.

법칙25. 짝수에서 홀수를 빼면 남는 것은 홀수이다.

법칙26. 홀수에서 홀수를 빼면 남는 것은 짝수이다.

법칙27. 홀수에서 짝수를 빼면 남는 것은 홀수이다.

법칙28. 홀수에다 짝수를 곱하면 그 결과는 짝수이다.

법칙29. 홀수에다 홀수를 곱하면 그 결과는 홀수이다.

법칙30. 어떤 홀수가 어떤 짝수를 재면, 그 홀수는 그 짝수의 절반도 잰다.

법칙31. 어떤 홀수가 어떤 수와 서로 남남이면, 그 홀수는 그 수의 두 배와도 서로 남남이다.

법칙32. 둘에서 시작해 계속 두 배씩 만들어 나가면, 이 때 생기는 숟르은 모두 짝수의 짝수 곱 형태로만 되어 있다.

법칙33. 어떤 수를 반으로 쪼갠 것이 홀수이면, 그 수는 짝수의 홀수 곱 형태로만 되어 있다.

법칙34. 어떤 수가 둘에서 시작해 계속 두 배씩 만든 것도 아니고, 그 수를 반으로 쪼갠 것이 홀 수도 아니라고 하자. 그러면 그 수는 짝수의 짝수 곱이면서 동시에 짝수의 홀수 곱이다.

법칙35. 차례차례 구한 비율이 같은 수들이 몇 개라도 좋으니 있다고 하자. 두 번째 수와 마지막 수에서 첫 번째 수를 빼라. 그러면 두 번째 수에서 남는 수와 첫 번째 수와의 비율은, 마지막 수에서 남는 수와 앞에 있는 모든 수들을 더한 것과의 비율과 같다.

법칙36. 단위수부터 시작해 두 배씩, 두 배씩 만들어 나간 수들이 몇 개라도 좋으니 있는데, 그 들을 모두 더한 것이 홑수라고 하자. 그러면 더한 것에다 마지막 수를 곱해서 만든 수는 완전수이다.

⑩ 무리수

법칙1. 두개의 크기가 다른 양들을 주었다고 하자. 큰 것에서 자신의 절반보다 더 큰 양을 빼고, 남은 것에서 자신의 절반보다 더 큰 양을 빼고, 이렇게 계속 되풀이해라. 그러면 처음 주어진 작은 양보다 더 작은 양이 남게 된다.

법칙2. 크기가 다른 두 양을 주었을때, 큰 것에서 작은 것을 빼고, 남는 것들 중에 큰 것에서 작 은 것을 빼는 과정을 계속 되풀이해라. 만약 남는 것이 그 이전의 것을 절대 재지 못하 면, 두 양들은 같이 잴 수 없다.

법칙3. 같이 잴 수 있는 두 양을 주었을 때. 이들을 공통으로 재는 가장 큰 양을 찾을수 있다.

법칙4. 같이 잴 수 있는 세 양을 주었을때, 이들을 공통으로 재는 가장 큰 양을 찾을수 있다.

법칙5. 같이 잴 수 있는 양들의 비율은 어떤 수와 어떤 수의 비율과 같다.

법칙6. 두 양들의 비율이 어떤 수와 어떤 수의 비율과 같으면, 두 양들은 같이 잴 수 있다.

법칙7. 같이 잴 수 없는 양들의 비율은 어떤 수와 어떤 수의 비율과 같을 수가 없다.

법칙8. 두 양들의 비율이 어떤 수와 어떤 수의 비율과 같지 않다고 하자. 그러면 그 양들은 같 이 잴 수 없다.

법칙9. 길이를 같이 잴 수 있는 직선들로 만든 정사각형들의 넓이 비율은 제곱수와 제곱수의 비 율과 같다. 그리고 정사각형들의 넓이 비율이 제곱수와 제곱수의 비율과 같으면, 그 변 들의 길이를 같이 잴 수 있다. 길이를 같이 잴 수 없는 직선들로 만든 정사각형들의 넓 이 비율은 제곱수와 제곱수의 비율과 같지 않다. 그리고 정사각형들의 넓이 비율이 제곱 수와 제곱수의 비율과 같지 않으면, 그 변들의 길이를 같이 잴 수 없다.

법칙10. 어떤 직선을 주었들 때, 그 직선과 길이만을 같이 잴 수 없는 직선, 길이뿐만 아니라 그 것들로 만든 정사각형들의 넓이도 같이 잴 수 없는 직선을 찾으시오.

법칙11. 네 양들이 소러 비례하고 첫째와 둘째를 같이 잴 수 있으면, 셋째와 넷째도 같이 잴 수 있다. 만약 첫째와 둘째를 같이 잴 수 없으면, 셋째와 넷째도 같이 잴 수 없다.

법칙12. 어떤 양과 같이 재 수 있는 양들은 그들은 서로도 같이 잴 수 있다.

법칙13. 두 양을 같이 잴 수 있는데, 그중 한 양을 다른 어떤 양과 같이 잴수 없다고 하자. 그러 면 나머지 한 양도 그것과 같이 잴 수 없다.

법칙14. 네 직선들이 서로 비례한다고 하자. 그리고 첫 번째 직선으로 만든 정사각형이 두 번째 직선으로 만든 정사각형의 넓이에 비해서, 첫 번째 직선과 같이 잴 수 있는 직선으로 만 든 정사각형만큼 더 넓다고 하자. 그러면 세 번째 직선으로 만든 정사각형은 네 번째 직 선으로 만든 정사각형에 비해서, 세 번째 직선과 같이 잴 있는 곡선으로 만든 정사각 형만큼 더 넓다. 만약 첫 번째 직선으로 만든 정사각형이 두 번째 직선으로 만든 정사 각형의 넓이에 비해서, 첫 번째 직선과 같이 잴 수 없는 직선으로 만든 정사각형만큼 더 넓다고 하면, 세 번째 직선으로 만든 정사각형은 네 번째 직선으로 만들 정사각형에 비 해서, 세 번째 직선과 같이 잴 수 없는 직선으로 만든 정사각형만큼 더 넓다.

법칙15. 두 양들을 같이 잴 수 있으면, 그들을 더한 결과도 원래 양들과 같이 잴 수 있다. 역으 로 더한 결과를 원래 양들 중의 하나와 같이 잴수 있으면, 원래 양들도 같이 잴 수 있 다.

법칙16. 두 양들을 같이 잴 수 없다면, 그들을 더한 결과도 원래 양들 각각과 같이 잴 수 없다. 역으로 더한 결과를 원래 양들 중의 하나와 같이 잴 수 없으면, 원래 양들도 같이 잴 수 없다.

법칙17. 길이가 다른 두 직선을 주었다고 하자. 긴 직선에다 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙였는 데, 그것의 넓이가 짧은 직선으로 만든 정사각형 넓이의 사분의 일이라고 하자. 만약 그 길이를 같이 잴 수 있으면, 긴 직선으로 만든 정사각형의 넓이는 짧은 직선으로 만든 정 사각형의 넓이에 비해서 긴 직선과 같이 잴 수 있는 직선으로 만든 정사각형의 넓이 만 큼 더 넓다. 긴 직선에다 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙였는데, 그것의 넓이가 짧은 직 선으로 만든 정사각형 넓이의 사분의 일이라 하자. 만약 긴 직선으로 만든 정사각형의 넓이에 비해서 긴 직선과 같이 잴 수 있는 직선으로 만든 정사각형의 넓이만큼 더 넓으 며, 이 평행사변형이 긴 직선을 토막 낸 길이를 같이 잴 수 있다.

법칙18. 길이가 다른 두 직선을 저었다고 하자. 긴 직선에다 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙였는 데, 그것의 넓이가 짧은 직선으로 만든 정사각형 넓이의 사분의 일이라고 하자. 이 평행 사변형이 원래 직선을 토막 냈는데, 만약 그 길이를 같이 잴 수 없으면, 긴 직선으로 만 든 정사각형의 넓이는 짧은 직선으로 만든 정사각형의 넓이에 비해서 긴 직선과 같이 잴 수 없는 직선으로 만든 정사각형의 넓이만큼 더 넓다. 긴 직선에다 정사각형을 뺀 평행 사변형을 붙였는데, 그것의 넓이가 짧은 직선으로 만든 정사각형 넓이의 사분의 일이라 고 하자. 만약 긴 직선으로 만든 정사각형의 넓이가 짧은 직선으로 만든 정사각형의 넓 이에 비해서 긴 직선과 같이 잴 수 없는 직선으로 만든 정사각형의 넓이만큼 더 넓으며, 이 평행사변형이 긴 직선을 토막 낸 길이를 겉이 잴 수 없다.

법칙19. 길이가 바르며 같이 잴 수 있는 직선들로 만든 직사가형의 넓이는 바르다.

법칙20. 길이가 바른 직선에다 넓이가 바른 직사각형들을 그려 놓아라. 그러면 이때 생기는 폭은 길이가 바르며, 원래 직선과 길이를 같이 잴 수 있다.

법칙21. 길이가 바르지만 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 길이는 같이 잴 수 없는 두 직선으로 만든 직사각형의 넓이는 바르지 않다. 이것과 넓이가 같도록 정사각형을 만들 면 변의 길이가 바르지 않다. 그런 길이를 중용이라고 부르자.

법칙22. 중용인 직선으로 정사각형을 만든 다음, 그것과 넓이가 같은 직사각형을 길이가 바른 직 선에다 붙여라. 그러면 이 때 생기는 폭은 길이가 바르지만, 그 직사각형을 붙인 지선과 길이를 같이 잴 수 없다.

법칙23. 중용인 직선과 같이 잴 수 있는 직선은 중용이다.

법칙24. 길이를 같이 잴 수 있는 중용인 직선들로 만든 직사각형의 넓이는 중용이다.

법칙25. 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있는 중용인 직선들로 만든 직사각형의 넓이는 바를 수도 있고 또는 중용일 수도 있다.

법칙26. 중용인 넓이와 중용인 넓이는 바른 넓이만큼 차이가 날 수 없다.

법칙27. 중용인 두 직선을 찾되, 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 그들이 만드는 직사각형의 넓이는 바르게 될 수 있다.

법칙28. 중용인 두 직선을 찾되, 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 그들이 만드는 직사각형의 넓이는 중용이 되도록 할 수 있다.

법칙29. 길이가 바른 두 직선을 찾되, 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 긴 직선으로 만든 정사각형의 넓이는 짧은 직선으로 만든 정사각형의 넓이에 비해서 긴 직 선과 길이를 같이 잴 수 있는 직선으로 만든 정사각형의 넓이만큼 더 넓도록 만들 수 있 다.

법칙30. 길이가 바른 두 직선을 찾되, 그들로 ㅁ나든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 긴 직선으로 만든 정사각형의 넓이는 짧은 직선으로 만든 정사각형의 넓이에 비해서 긴 직선과 길이를 같이 잴 수 없는 직선으로 만든 정사각형의 넓이만큼 더 넓도록 만들 수 있다.

법칙31. 길이가 중용인 두 직선을 찾되, 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 그들이 만드는 직사각형의 넓이는 바르며, 긴 직선으로 만든 정사각형의 넓이는 짧은 직 선으로 만든 정사각형의 넓이에 비해서 긴 직선과 길이를 같이 잴 수 있는 직선으로 만 든 정사각형의 넓이만큼 더 넓도록 할 수 있다.

법칙32. 길이가 중용인 두 직선을 찾되, 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 그들이 만드는 직사각형의 넓이는 중용이며, 긴 직선으로 만든 정사각형의 넓이는 짧은 직선으로 만든 정사각형의 넓이에 비해서 긴 직석과 길이를 같이 잴 수 있는 직선으로 만든 정사각형의 넓이만큼 더 넓도록 만들 수 있다.

법칙33. 두 직선을 찾되, 그들로 만든 정사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없고, 정사각형들의 넓이 를 더하면 바르게 되며, 그들로 만든 직사각형의 넓이는 중용이 되도록 할 수 있다.

법칙34. 두 직선을 찾되, 그들로 만든 저사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없고 정사각형들의 넓이 를 더하면 중용이 되며, 그들로 만든 직사각형의 넓이는 바르게 되도록 만들 수 있다.

법칙35. 두 직선을 찾되, 그들로 만든 정사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없고, 정사각형들의 넓이 를 더하면 중용이 되며, 그들로 만든 직사각형의 넓이는 중영이 되며, 지사각형의 넓이 는 정사각형들을 더한 넓이와 같이 잴 수 없도록 할 수 있다.

법칙36. 길이가 바른 두 직선이 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있으면, 그들을 더하면 전체 길이가 바르지 않게 된다. 이것을 이항이라 부르자.

법칙37. 길이가 중요인 두 직선이 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 그들이 만드는 직사각형의 넓이는 바르다고 하자. 그들을 더하면 전체 길이가 바르지 않게 된 다. 이것을 첫 번째 이중용 직선이라고 부르자.

법칙38. 길이가 중용인 두 직선이 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 그들이 만드는 직사각형의 넓이는 중용이라고 하자. 그들을 더하면 전체길이가 바르지 않게 된 다. 이것을 두 번째 이중용 직선이라 부르자.

법칙39. 두 직선으로 만든 정사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없고, 정 사각형들을 더한 넓이는 바 르지 않으며, 그들이 만드는 직사각형의 넓이는 중용이라고 하자. 그들을 더하면 전체 길이가 바르지 않게 된다. 이것을 대직선이라고 부르자.

법칙40. 두 직선으로 만든 정사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없고, 정사각형들을 더한 넓이는 중 용이며, 그들이 만드는 직사각형의 넓이는 바르다고 하자. 그들을 더하면 전체 길이가 바르지 않게 된다. 이것을 바른 넓이와 중용인 넓이를 더한 것의 변이라고 부르자

법칙41. 두 직선으로 만든 정사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없고, 정사각형들을 더한 넓이는 중 용이며, 그들이 만드는 직사각형의 넓이도 중용인데. 직사각형의 넓이는 정사각형들을 더한 넓이와 같이 잴 수 없다고 하자. 그들을 더하면 전체 길이가 바르지 않게 된다. 이 것을 중용인 두 넓이를 더한 것의 변이라고 부르자

법칙42. 이항직선은 헌 점에서만 두 성분으로 토막 낼 수 있다.

법칙43. 첫 번째 이중용 직선은 한점에서만 토막 낼 수 있다.

법칙44. 두 번째 이중용 직선은 한점에서만 토막 낼 수 있다.

법칙45. 대직선은 한점에서만 토막 낼 수 있다.

법칙46. 바른 넓이와 중용인 넓이를 더한 것의 변은 단 ㅎㄴ점에서만 토막 낼 수 있다.

법칙47. 중용인 두 넓이를 더한 것의 변은 단 한 접에서만 토막 낼 수 있다.

법칙48. 첫 번째 이항 직선을 찾을 수 있다.

법칙49. 두 번째 이항 직선을 찾을 수 있다.

법칙50. 세 번째 이항 직선을 찾을 수 있다.

법칙51. 네 번째 이항 직선을 찾을 수 있다.

법칙52. 다섯 번째 이항 직선을 찾을 수 있다.

법칙53. 여섯 번째 이항 직선을 찾을 수 있다.

법칙54. 길이가 바른 직선과 첫 번째 이항 직선을 가지고 직사각형을 만들어라. 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 길이가 바르지 않으며, 이항 직선이 된다.

법칙55. 길이가 다른 직선과 두 번째 이항 직선을 가지고 직사각형을 만들어라. 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 길이가 바르지 않으며, 첫 번째 이중용 직선이 된다.

법칙56. 길이가 바른 직선과 세 번째 이항직선을 가지고 직사각형을 만들어라. 그것과 넓이가 같 은 정사각형의 변의 길이가 바르지 않으며, 두 번째 이중용 직선이 된다.

법칙57. 길이가 바른 직선과 네 번째 이항 직선을 가지고 직사각형을 만들어라. 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 길이가 바르지 않으며, 대직선이 된다.

법칙58. 길이가 바른 직선과 다섯 번째 이항직선을 가지고 직사각형을 만들어라. 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 길이가 바르지 않으며, 바른 넓이와 중용인 넓이를 더한 것의 변 이 된다.

법칙59. 길이가 바른 직선과 여섯 번째 이항직선을 가지고 직사각형을 만들어라. 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 길이가 바르지 않으며, 바른 넓이와 중용인 넓이를 더한 것의 변 이 된다.

법칙60. 이항 직선으로 만든 정사각형과 넓이가 같도록 직사각형을 만들어서 길이가 바른 직선에 다 붙이면, 이 때 생기는 폭은 첫 번째 이항 직선이다.

법칙61. 첫 번째 이중용 직선으로 만든 정사각형과 넓이가 같도록 직사각형을 만들어서 길이가 바른 직선에다 붙이면, 이 때 생기는 폭은 두 번째 이항 직선이다.

법칙62. 두 번째 이중용 직선으로 만든 정사각형과 넓이가 같도록 직사각형을 만들어서 길이가 바른 직선에다 붙이면, 이 때 생기는 폭은 세 번째 이항 직선이다.

법칙63. 대직선으로 만든 정사각형과 넓이가 같도록 직사각형을 만들어서 길이가 바른 직선에다 붙이면, 이 때 생기는 폭은 네 번째 이항 직선이다.

법칙64. 바른 넓이와 중용인 넓이를 더한 것의 변으로 만든 정사각형과 넓이가 같도록 직사각형 을 만들어서 길이가 바른 직선에다 붙이면, 이때 생기는 폭은 다섯 번째 이항 직선이다.

법칙65. 중용인 두 넓이를 더한것의 변으로 만든 정사각형과 넓이가 같도록 직사각형을 만들어서 길이가 바른 직선에다가 붙이면 이때 생기는 폭은 여섯 번째 이항 직선이다.

법칙66. 이항 직선과 길이를 같이 잴 수 있는 직선은 역시 같은 종류의 이항 직선이다.

법칙67. 이중용 직선과 길이를 같이 잴 수 있는 직선은 역시 같은 종류의 이중용 직선이다.

법칙68. 대각선과 길이를 같이 잴 수 있는 직선은 역시 대각선이다.

법칙69. 바른 넓이와 중용인 넓이를 더한 것의 변과 길이를 같이 잴 수 있는 직선은 역시 바른 넓이와 중용인 넓이를 더한 것의 변이다.

법칙70. 중용인 두 넓이를 더한 것의 변과 길이를 같이 잴 수 있는 직선은 역시 역시 중용인 두 넓이를 더한 것의 변이다.

법칙71. 바른 넓이와 중용인 넓이를 더해서 정사각형을 만들면 네 종류의 길이가 바르지 않는 직 선들이 생긴다. 이항 직선, 첫 번째 이중용 직선, 대직선, 또는 바른 넓이와 중용인 넓이 를 더한 것의 변이 생긴다.

법칙72. 넓이를 같이 잴 수 없는 중용인 두 넓이를 더해서 정사각형을 만들면, 나머지 두 종류의 길이가 바르지 않는 직선들이 생긴다. 즉, 두 번째 이중용 직선, 또는 중용인 두 넓이를 더한것의 변이 생긴다.

법칙73. 길이가 바른 직선에서 길이가 바른 직선을 뺏는데 뺀 직선과 전체 직선은 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있다고 하자. 그러면 남는 것은 길이가 바르지 않다. 이것을 뺀 직선이라고 부르자.

법칙74. 길이가 중용인 직선에서 길이가 중용인 직선을 뺏는데, 뺀 직선과 전체 직선은 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있다고 하자. 그리고 이들로 만든 직사각형의 넓이는 바르다고 하자. 그러면 남는 것은 길이가 바르지 않다. 이것을 중용을 뺀 첫 번 째 직선이라고 부르자.

법칙75. 길이가 중용인 직선에서 길이가 중용인 직선을 뺏는데, 뺀 직선과 전체 직선을 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있다고 하자. 그리고 이들로 만든 직사각형의 넓이가 중용이라고 하자. 그러면 남는 것은 길이가 바르지 않다. 이것을 중용을 뺀 두 번째 직선이라고 부르자.

법칙76. 직선에서 어떤 직선을 뺏는데, 이들은 이들로 만든 정사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없 고, 이들로 만든 정사각형들을 더한 ㄴ럽이는 바르고, 이들이 만드는 직사각형의 넓이는 중용이라고 하자. 그러면 남는 것은 길이가 바르지 않다. 이것을 소직선이라고 부르자.

법칙77. 직선에서 어떤 직선을 뺐는데, 이들은 이들로 만든 직사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없고, 이들로 만든 정사각형들을 더한 넓이는 중용이며, 이들이 만드는 직사각 형의 두 배의 넓이는 바르다고 하자. 그러면 남는 것은 길이가 바르지 않다. 이것 을 바른 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선이라고 부르자.

법칙78. 직선에서 어떤 직선을 뺐는데, 이들은 이들로 만든 정사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없고, 이들이 만드는 직사각형의 두 배의 넓이는 중용인데, 정사각형들을 더한 넓이와 이들이 만드는 직사각형의 두 배의 넓이는 같이 잴 수 없다고 하자. 그러 면 남는 것은 길이가 바르지 않다. 이것을 중용인 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선이라고 부르자.

법칙79. 뺀 직선에다 어떤 길이가 바른 직선을 붙여서, 붙인 직선과 전체 직선이 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있는 것은 단 하나 뿐이다.

법칙80. 중용인 뺀 첫 번째 직선에다 어떤 중용인 직선을 붙여서, 붙인 직선과 전체 직선 이 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 그들이 만드는 직사각형 의 넓이는 바르게 되는 것은 단 하나 뿐이다.

법칙81. 중용인 뺀 두 번째 직선에다 어떤 중용인 직선을 붙여서 붙인 직선과 전체 직선이 그들로 만든 정사각형들의 넓이만을 같이 잴 수 있고, 그들이 만드는 직사각형의 넓이는 중용이 되는 것은 단 하나 뿐이다.

법칙82. 소직선에다 어떤 직선을 붙여서, 붙인 직선과 전체 직선이 그들로 만든 정사각형 들의 넓이를 같이 잴 수 없고, 정사각형들을 더한 것은 넓이가 바르며, 그들이 만 드는 직사각형의 두 배는 넓이가 중용이 되는 것은 단 하나 뿐이다.

법칙83. 바른 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선에다 어떤 직선을 붙여서, 붙인 직 선과 전체 직선이 그들로 만든 정사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없고, 정사각형들 을 더한 것의 넓이는 중용이며, 그들이 만드는 직사각형의 두 배는 넒이가 바르게 되는 것은 하나 뿐이다.

법칙84. 중용인 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선에다 어떤 직선을 붙여서, 붙인 직선과 전체 직선이 그들로 만든 정사각형들의 넓이를 같이 잴 수 없고 정사각형 들을 더한 것의 넓이는 중용이며, 그들이 만드는 직사각형의 두 배도 넓이가 중용 이자만 정사각형들을 더한 것과 넓이를 같이 잴 수는 없도록 되는 것은 단 하나 뿐이다.

법칙85. 첫 번째 뺀 직선을 찾을 수 있다.

법칙86. 두 번째 뺀 직선을 찾을 수 있다.

법칙87. 세 번째 뺀 직선을 찾을 수 있다.

법칙88. 네 번째 뺀 직선을 찾을 수 있다.

법칙89. 다섯 번째 뺀 직선을 찾을 수 있다.

법칙90. 여섯 번째 뺀 직선을 찾을 수 있다.

법칙91. 길이가 바른 직선과 첫 번째 뺀 직선을 가지고 직사각형을 만들면, 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 뺀 직사각형이다.

법칙92. 길이가 바른 직선과 두 번째 뺀 직선을 가지고 직사각형을 만들면, 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 중용을 뺀 첫 번째 직선이다.

법칙93. 길이가 바른 직선과 세 번째 뺀 직선을 가지고 직사각형을 만들면, 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 중용을 뺀 두 번째 직선이다.

법칙94. 길이가 바른 직선과 네 번째 뺀 직선을 가지고 직사각형을 만들면, 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 소직선이다.

법칙95. 길이가 바른 직선과 다섯 번째 뺀 직선을 가지고 직사각형을 만들면, 그것과 넓이 가 같은 정사각형의 변은 바른 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선이다.

법칙96. 길이가 바른 직선과 여섯 번째 뺀 직선을 가지고 직사각형을 만들면, 그것과 넓이 가 같은 정사각형의 변은 중용인 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선이다.

법칙97. 뺀 직선으로 정사각형을 만든 다음, 그것과 넓이가 같도록 직사각형을 만들어서 길 이가 바른 직선에다 붙이면, 이때 생기는 폭은 첫 번째 뺀 직선이다.

법칙98. 중용을 뺀 첫 번째 직선으로 정사각형을 만든 다음, 그것과 넓이가 같도록 직사각 형을 만들어서 길이가 바른 직선에다 붙이면, 이때 생기는 폭은 두 번째 뺀 직선이 다.

법칙99. 중용을 뺀 두 번째 직선으로 정사각형을 만든 다음, 그것과 넓이가 같도록 직사각 형을 만들어서 길이가 바른 직선에다 붙이면, 이 때 생기는 폭은 세 번째 뺀 직선 이다.

법칙100. 소직선으로 정사각형을 만든 다음, 그것과 넓이가 같도록 직사각형을 만들어서 길 이가 바른 직선에다 붙이면, 이 때 생기는 폭은 네 번째 뺀 직선이다.

법칙101. 바른 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선으로 정사각형을 만들어서 길이가 바른 직선에다 붙이면, 이때 생가는 폭은 다섯 번째 뺀 직선이다.

법칙102. 중용인 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선으로 정사각형을 만든 다음, 그 것과 넓이가 같도록 직사각형을 만들어서 길이가 바른 직선에다 붙이면 이때 생기 는 폭은 여섯 번째 뺀 직선이다.

법칙103. 뺀 직선과 길이를 같이 잴 수 있는 직선은 역시 같은 종류의 뺀 직선이다.

법칙104. 중용을 뺀 직선과 길이를 같이 잴 수 있는 직선은 역시 같은 종류의 중용을 뺀 직선이다.

법칙105. 소직선과 길이를 같이 잴 수 있는 직선은 소직선이다.

법칙106. 바른 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선과 길이를 같이 잴 수 있는 직선 은 역시 바른 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선이다.

법칙107. 중용인 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선과 길이를 같이 잴 수 있는 직 선은 역시 중용인 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선이다.

법칙108. 바른 넓이에서 중용인 넓이를 빼라. 그러면 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 두 종류의 길이가 바르지 않은 직선이 된다. 뺀 직선이 되거나 또는 소직선이 된 다.

법칙109. 중용인 넓이에서 바른 넓이를 빼라. 그러면 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 두 종류의 길이가 바르지 않은 직선이 된다. 중용을 뺀 첫 번째 직선이 되거나 또 는 바른 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선이다.

법칙110. 중용인 넓이에서 그것과 넓이를 같이 잴 수 없는 중용인 넓이를 빼라. 남는 것과 넓이가 같은 정사가가형의 변은 두 종류의 길이가 바르지 않은 직선이 된다. 중용 을 뺀 두 번째 직선이 되거나 또는 중용인 넓이와 합쳐서 중용인 넓이를 만드는 직선이 된다.

법칙111. 뺀 직선은 이항 직선과 다르다.

법칙112. 길이가 바른 직선으로 만든 정사각형과 넓이가 같도록 직사각형을 만들어서 이항 직선에다 붙여라. 그러면 이 때 생기는 폭은 뺀 직선이며, 이것의 성분들은 이항 직선의 성분들과 같이 잴 수 있고, 비율이 같으며, 이항 직선과 같은 종류인 뺀 직선이다.

법칙113. 길이가 바른 직선으로 만든 정사각형과 넓이가 같도록 직사각형을 만들어서 뺀 직선에다 붙여라. 그러면 이 때 생기는 폭은 이항 직선이며, 이것의 성분들은 뺀 직선의 성분들과 같이 잴 수 있고, 비율은 같으며, 뺀 직선과 같은 종류인 이항 직선이다.

법칙114. 뺀 직선과 이항 직선을 가지고 직사각형을 만들었는데, 뺀 직선과 이항 직선의 성 분들을 같이 잴 수 있고 그 비율이 같으면, 그것과 넓이가 같은 정사각형의 변은 길이가 바르다.

- 길이가 바르지 않은 직선들이 바른 넓이를 만들 수 있음이 명백하다.

법칙115. 중용인 직선에서 길이가 바르지 않은 직선들을 수없이 많이 만들 수 있다. 이들은 모두 서로 다르다.

⑪ 공간기하

법칙1. 직선의 일부분이 한 평몉에 놓이고 또 일부분은 그 평면의 위에 떠 있을 수는 없다.

법칙2. 두 직선이 서로 만나면 이들은 한 평면에 놓이며, 모든 삼각형은 한 평면에 놓인다.

법칙3. 만약 두 평면이 서로 만나면 이들의 공통부분은 직선이 된다.

법칙4. 두 직선이 서로 만날 때 이 들의 교점에서 두 직선에 수직이 되도록 직선을 세우면, 이 직선은 두 직선을 포함하는 평면과 수직이다.

법칙5. 세직선이 한점에서 만날 때 이들의 지점에서 세 직선에 수직이 되도록 한 직선을 세울수 있으면, 세 직선은 한 평면에 놓인다.

법칙6. 두 직선이 같은 평면에 대해 수직이면, 두 직선은 서로 평행하다.

법칙7. 평행선들이 있을 때, 거기에서 아무 점이라도 좋으니 점을 하나씩 잡아라. 그 점들을 잇 는 직선은 평행선들과 같은 평면에 놓인다.

법칙8. 두 평행선들이 있는데, 그들 중 하나가 어떤 평면과 수직이라고 하자, 그러면 나머지 한 직선도 그 평면과 수직이다.

법칙9. 두 직선이 어떤 직선에 대해 서로 평행하다면, 그 직선이 두 직선과 같은 평면에 놓여 있지 않다 하더라도, 이 두 직선은 평행하다

법칙10. 두 직선이 만나고 또 어떤 두 직선이 만나는데, 이들은 각각서로 평행하다고 하자, 그러 면 이들이 같은 평면에 놓여 있지 않다 하더라도, 이들이 만드는 각은 크기가 같다.

법칙11. 어떤 평면 위에 점이 떠 있을 때, 그 점에서 평면으로 수직선을 그을 수 있다.

법칙12. 주어진 평면에서 어떤 점을 잡았을 때, 거기에서 평면에 수직이 되도록 직선을 그을수 있다.

법칙13. 주어진 평면에서 어떤 점을 잡았을 때, 그 점에서 평면에 수직이 되도록, 같은 방향으로 그을 수 있는 직선은 단 하나 밖에 없다.

법칙14. 두 평면이 한 직선과 수직이면, 두 평면은 서로 평행하다.

법칙15. 두 직선이 만나고 또 어떤 두 직선이 만나는데, 이들은 각각 서로 평행하다고 하자, 그 리고 이들이 같은 평면에 놓여 있지 않다고 하자. 그러면 이들을 포함하는 평면들은 서 로 평행하다.

법칙16. 평행한 두 평면이 어떤 평면과 만나면, 이때 생기는 교선들은 서로 평행하다.

법칙17. 평행한 평면들이 두 직선을 자르면, 그것들은 길이의 비율이 같다.

법칙18. 어떤 직선이 어떤 평면과 수직이면, 그 직선을 포함하는 모든 평면은 그 평면과 수직이 다.

법칙19. 두 평면이 어떤 평면과 수직이라고 하자. 그러면 두 평면의 교선도 그 평면과 수직이 다.

법칙20. 세 개의 평면각이 어떤 입체각을 만든다고 하자. 그러면 이들 중 어느 것 두 개를 골라 서 더하더라도, 나머지 한 각보다 더 크다.

법칙21. 평면각들이 모여 입체각을 만들면, 그 각들을 모두 더해도 직각의 네배보다 작다.

법칙22. 세 개의 평면각이 있는데, 이들 중 어느 것 둘을 더 해도 나머지 하나보다 더 크다고 하 자, 그리고 이 각들을 만드는 직선들이 모두 길이가 같다고 하자. 그러면 이 직선들의 끝점을 이었을 때 생기는 직선들을 가지고 삼각형을 만들 수 있다.

법칙23. 세 개의 평면각이 있는데, 이들 중 어느 것 둘을 더해도 나머지 하나보다 더 크다고 하 자. 이각들을 가지고 입체각을 만들 수 없다. 그러므로 세 각을 더한 것이 직각의 네배 보다 더 작다고 가정해야한다.

법칙24. 어떤 입체가 평행한 평면들로 둘러싸여 있으면, 반대쪽에 있는 평면들은 크기가 같은 평 행사변형들이다.

법칙25. 평행한 입체를 양 끝의 면들과 평행한 평면으로 잘랐다고 하자. 그러면 밑면과 밑면의 넓이 비율을 입체의 부피 비율과 같다.

법칙26. 어떤 직선에서 한 점을 잡았을 때, 주어진 입체각과 같은 입체각을 거기에다 만들 수 있 다.

법칙27. 어떤 직선과 어떤 평행면 입체를 주었을 때, 그 직선에다 주어진 평행면 입체와 닮은꼴 평행면 입체를 같은 방향에 만들 수 있다.

법칙28. 평행면 입체를 양쪽 면의 대각선들을 포함하는 평면으로 잘라라. 그러면 이 입체의 부피 가 이등분된다.

법칙29. 두 평행면 입체가 밑면이 같고 높이가 같다고 하자. 그리고 서 있는 변들의 끝점들이 같 은 직선에 놓여 있다고 하자. 그러면 이 두 입체의 부피가 같다.

법칙30. 두 평행면 입체가 밑면이 같고 높이가 같다고 하자. 그리고 서 있는 변들의 끝점들이 같 은 직선에 놓여 있지 않다고 하자. 이 경우에고 이 두 입체는 부피가 같다.

법칙31. 밑면의 넓이가 같고 높이가 같은 평행면 입체들은 부피가 같다.

법칙32. 높이가 같은 평행면 입체들의 부피 비율은 그들의 밑면들의 넓이 비율과 같다.

법칙33. 닮은꼴 평행면 입체들의 부피 비율은 대응하는 변들의 길이 비율의 세 겹이다.

법칙34. 평행면 입체들이 부피가 같으면, 밑면의 넓이는 높이에 역으로 비례한다. 그리고 밑면의 넓이가 높이에 역으로 비례하는 평행면 입체들은 부피가 같다.

법칙35. 두 평면각이 크기가 같다고 하자. 그들의 꼭지점에서 각을 포함하는 평면의 위로 올라가 도록 직선을 세우되. 그 직선이 원래 각을 이루는 직선들과 만드는 각들의 크기가 같도 록 해라. 그 직선에서 아무 점이라도 좋으니 점을 잡은 다음에 원래 각을 포함하는 평면 에 수직이 되도록 직선을 그어라 이 직선과 평면이 만나는 점을 잡고, 이 점과 각의 꼭 지점을 잇는 직선을 그어라. 그러면 이 직선과 평면의 위로 올라 가도록 세운 직선이 만 드는 각들은 크기가 같다.

법칙36. 세직선들이 서로 비례한다고 하자. 그러면 세 직선 들을 가지고 만들 평행면 입체의 부 피는, 이 입체와 각들의 크기는 같고 모든 변들의 길이는 두 번째 직선과 같도록 만든 평행면 입체의 부피와 같다.

법칙37. 네 직선들이 서로 비례한다고 하자. 이 직선들에다 닮은꼴 평행면 입체들을 같은 형태로 붙여 놓으면 이 입체들은 부피도 서로 비례한다. 역으로, 네 직선들이 있는데, 이 직선 들에다 닮은꼴 평행면 입체들을 같은 형태로 붙여 놓았을 때 그 부피가 서로 비례하면, 이 네 직선들은 서로 비례한다.

법칙38. 정육면체의 마주 보는 면들의 변들을 이등분한 다음, 그 점들을 지나도록 두 평면을 잡 아라. 그러면 이 두 평면의 교선은 정육면체의 대각선과 서로 이등분한다.

법칙39. 높이가 같은 두 각기둥들이 있는데, 하나는 밑면이 평행사변형이고 다른 하나는 밑면이 삼각형이며, 평행사변형의 넓이가 삼각형 넓이의 두 배라고 하자. 그러면 이들은 부피가 같다.

⑫ 입체의 부피

법칙1. 닮은꼴 다각형들을 원에다 내접시키면, 그들의 넓이 비율은 원의 지름으로 만든 정사각 형들의 넓이 비율과 같다.

법칙2. 원들의 넓이 비율은 원의 지름으로 만든 정사각형들의 넓이 비율과 같다.

법칙3. 밑면이 삼각형인 각뿔이 있다고 하자. 이 각뿔은 두 개의 각뿔과 다 개의 각기둥으로 쪼 갤 수 있다. 두 각뿔은 밑면이 삼각형이고, 서로 닮은꼴이며, 부피가 같고, 전체 각뿔과 닮은꼴이다. 두 각기둥은 부피가 같으며, 두 각기둥을 더하면 전체 각뿔의 절반보다 더 크다.

법칙4. 밑면이 삼각형이며 높이가 같은 두 각뿔이 있다고 하자. 이들 각각을 두 개의 각뿔과 두 개의 각기둥으로 쪼개되, 두 각뿔은 부피가 같으며 전체 각뿔과 닮은꼴이고, 두 각기둥 도 부피가 같도록 해라. 그러면 한 각뿔의 밑면과 다른 각뿔의 밑면의 넓이 비율은, 한 각뿔에서 나온 모든 각기둥들을 더한 것과 다른 각뿔에서 나온 그와 같은 개수의 각기둥 들을 모두 더 한것과의 부피 비율과 같다.

법칙5. 밑면이 삼각형이며 높이가 같은 두 각뿔의 부피 비율은 밑면의 넓이 비율과 같다.

법칙6. 밑면이 다각형이며 높이가 같은 두 각뿔의 부피 비율은 밑면의 넓이 비율과 같다.

법칙7. 밑면이 삼각형인 각기둥은, 밑면이 삼각형이며 부피가 같은 게 각뿔로 쪼갤 수 있다.

법칙8. 밑면이 삼각형인 닮은 꼴 각뿔들의 부피 비율은 대응하는 변들의 비율의 세 겹이다.

법칙9. 법칙 밑면이 삼각형이며 부피가 같은 각뿔들은 밑면의 넓이가 높이에 역으로 비례한다. 그리고 밑면의 넓이가 높이에 역으로 비례하는 삼각뿔들은 부피가 같다.

법칙10. 원뿔의 부피는 그것과 밑면이 같고 높이가 같은 원기둥 부피의 삼분의 일이다.

법칙11. 높이가 같은 원뿔들이나 원기둥들의 부피 비율은밑면의 넓이 비율과 같다.

법칙12. 닮은꼴 원뿔이나 원기둥들의 부피 비율은 밑면지름의 비율의 세 겹이다.

법칙13. 어떤 원기둥을 양쪽 면에 평행한 평면으로 자르면, 이 EO 생기는 원기둥과 원기둥의 부 피 비율은 축과 축의 길이 비율과 같다.

법칙14. 밑면의 넓이가 같은 원뿔들이나 원기둥들의 부피 비율은 그들의 높이 비율과 같다.

법칙15. 부피가 같은 원뿔들이나 원기둥들은 밑면의 넓이가 높이에 역으로 비례한다. 원뿔들이나 원기둥들이 밑면의 넓이가 높이에 역으로 비례하면 부피가 같다.

법칙16. 공통 중점을 가지는 두 원을 주었을 때, 큰 원의 안에 변의 개수가 짝수인 정다각형을 내접시키되, 그 정다각형이 작은 원과 만나지 않도록 할 수 있다.

법칙17. 공통 중점을 가지는 두 공을 주었을 때, 큰 공의 안에 다면체를 내접시키되, 그 다면체 가 작은 공의 표면과 만나지 않도록 할 수 있다.

법칙18. 공들의 부피 비율은 지름의 길이 비율의 세겹과 같다.

⑬ 정다면체

법칙1. 어떤 직선을 평균과 작은 것의 비율로 잘라라. 그러면 전체의 절반에다 긴 토막을 더한 것으로 정사각형을 만들면 그것의 넓이는 전체의 절반으로 만든 정사각형 넓이의 다섯 배가 된다.

법칙2. 어떤 직선으로 만든 정사각형의 넓이가 그 직선의 한 토막으로 만든 정사각형 넓이의 다 섯 배라고 하자. 그 토막을 두 배 길이로 만든 다음 평균과 작은 것의 비율로 잘라라. 그러면 이 때 생기는 큰 토막은 원래직선의 나머지 한 토막과 길이가 같다.

법칙3. 어떤 직선을 평균과 작은 것의 비율로 잘라라. 그러면 긴 토막의 절반에다 짧은 토막을 더한 것으로 정사각형을 만들면, 그것의 넓이는 긴 토막의 절반으로 만든 정사각형 넓이 의 다섯 배가 된다.

법칙4. 어떤 직선을 평균과 작은 것의 비율로 잘라라. 그러면 전체 직선으로 만든 정사각형에다 짧은 토막으로 만든 정사각형을 더한 것은 긴 토막으로 만든 정사각형 넓이의 세배가 된 다.

법칙5. 어떤 직선을 평균과 작은 것의 비율로 잘라라. 여기에다 긴 토막과 길이가 같은 직선을 붙여라. 그러면 전체 직선을 평균과 작은 것의 비율로 자른 것이 되며, 원래 직선이 긴 토막이 된다.

법칙6. 길이가 바른 직선을 평균과 작은 것의 비율로 잘라라. 그러면 각각의 토막들은 길이가 바르지 않은 직선이며, 뺀 직선이다.

법칙7. 변들의 길이가 모두 같은 오각형이 있다고 하자. 이 오각형의 세 각이 크기가 같다고 하 자. 그러면 이 오각형은 모든 각이 크기가 같다.

법칙8. 변들의 길이가 모두 같고 각들의 크기가 모드 같은 오각형에서 처례차례 있는 두 각을 마주 보는 직선들을 그으면, 그 직선들은 서로를 평균과 작은 것의 비율로 자른다. 이 때 생기는 긴 토막은 오각형의 변과 길이가 같다.

법칙9. 같은 크기의 원에 내접하는 정육가형의 변과 정십각형의 변을 더해라. 그러면 전체 직선 을 평균과 작은 것의 비율로 자른 곳과 같으며, 긴 토막이 정육각형의 변이다.

법칙10. 어떤 원에 내접하는 정오각형의 변으로 만든 정사각형의 넓이는, 같은 원에 내접하는 정 육각형과 정십각형의 변들로 만든 정사각형들의 넓이를 더한 것과 같다.

법칙11. 반지름의 길이가 바른 원에 정오각형이 내접하면, 정오각형의 변은 길이가 바르지 않으 며, 소직선이다.

법칙12. 어떤 원에 정삼각형을 내접시키면 삼각형의 변으로 만든 정사각형의 넓이는 원의 반지름 으로 만든 정사각형 넓이의 세배가 된다.

법칙13. 주어진 공에 정사면체를 내접시키시오. 공의 지름으로 만든 정사각형의 넓이는 정사면체 의 한 변으로 만든 정사각형 넓이의 한 배 반이 된다.

법칙14. 주어진 공에 정팔면체를 내접시키시오. 공의 지름으로 만든 정사각형의 넓이는 정팔면체 의 한 변으로 만든 정사각형 넓이의 두 배가 된다.

법칙15. 주어진 공에 정육면체를 내접시키시오. 공의 지름으로 만든 정사각형의 넓이는 정육면체 의 한 변으로 만든 정사각형 넓이의 세배가 된다.

법칙16. 앞에서 정다면체들을 그렇게 한 것처럼, 주어진 공에 정이십면체를 내접시키시오. 정이 십면체의 변의 길이는 바르지 않으며, 소직선이다.

법칙17. 앞에서 정다면체들을 그렇게 한 것처럼, 주어진 공에 정이십면체를 내접시키시오. 정이 십면체의 변의 길이는 바르지 않으며, 뺀 직선임이다.

법칙18. 다섯 개 정다면체들의 변들을 긋고 그 길이를 서로 비교할 수 있다.

열공하세요^^~