오일러등식에 관해
익명 작성일 - 수I에서는 e가 나오지도 않는데...
최대한 쉽게 설명드리죠
1. 미분
미분이란 어떤 그래프가 어떤 점에서 얼마나 증가하냐를 따지는 겁니다.(쉽게 말하면..)
미분해서 나온 값을 미분계수라 하며, f(x)의 a에서의 미분계수는 f'(a)라고 하고, a라는 점에서의
접선의 기울기와 같습니다.
2. 도함수
f'(1), f'(2), f'(3), ... 이렇게 미분계수는 미분 가능한 함수에서는 항상 존재합니다
그래서 이런 f'(a)들에 대한 일반적인 식을 f'(x)라고 합니다. x라는 점에서의 접선의 기울기를 나타내는
함수라 생각하시면 편합니다.
3. 도함수와 함숫값이 같을 때?
f(x) = f'(x)가 될 수 있을까요?
엄밀한 수학적 증명은 제쳐두고, 가능합니다.
지수함수인 e^x가 바로 그것이죠
e는 2.718...로 이어지는 무리수이고, e^x를 미분하면 자기 자신이 나옵니다.
그말인즉슨 x=1에서 접선의 기울기는 1, x=2에서 접선의 기울기는 2, ... 이렇게 되는거죠.
4. 테일러 전개란?
sinx라는 함수를 보시면
도저히 다항함수로는 나타낼 수 없어 보입니다.
다항함수는 마지막에는 쭉 증가하거나 쭉 감소하는 꼴만 봤는데
sinx를 다항함수로 나타내긴 힘들어 보이죠.
하지만 수학에는 '테일러 전개'라는게 있습니다.
쉽게 말하면,
다항함수로 나타내기 힘든 함수를 다항함수의 무한한 합으로 나타내는 겁니다.
테일러 전개는
이렇게 나타나며,
겁먹지 마세요. 알려드리겠습니다.
처음 lim n->무한대는 n이 10, 100, 1000, 10000, .... 이렇게 점점 무한히 커진다는 뜻입니다.
그리고 f 위의 k는 f를 k번 미분한 함수라는 뜻입니다.
a는 어떤 특정한 점이죠.
!는 아실겁니다. 팩토리얼이죠.
시그마는 아시리라 믿습니다.
이 테일러전개를 보기 쉽게 0에서 전개한 것을 '매클로린 급수라 하는데요,
여기서는 매클로린 급수를 보겠습니다.
저 식에 a=0을 대입하면 매클로린 급수가 되며
이렇게 나타납니다.
5. 삼각함수의 덧셈정리
sin(a + b)부터 보죠.
이런 삼각형이 있다고 해봅시다.
삼각형 넓이 공식에 의해
넓이는 1/2 * ab * sin(alpha + beta)겠죠?
저 수선의 발을 H라 하면
AH는 b*cos(beta)일겁니다. a*cos(alpha)도 되고요.
그럼 이제
삼각형 AHB의 넓이를 구해보면 1/2 * a * b*cos(beta) * sin(alpha)가 되겠죠
삼각형 AHC의 넓이를 구해보면 1/2 * b * a*cos(alpha) * sin(beta)가 되겠죠.
둘이 더해보면
그리고 알파에 pi/2 + 알파를 대입해주면
각변환에 의해
사인함수, 코사인함수의 덧셈정리를 증명했습니다
6. 삼각함수의 극한
이건 sinx/x의 그래프입니다.
x가 0에 정말 근접할떄 x값은 1로 점점 가는걸 알수 있어요.
따라서
임을 알수 있죠.
또,
이건 (cosx - 1)/x의 그래프입니다.
x가 0에 정말 근접할때 x값은 0으로 점점 가는 걸 알수 있어요.
따라서
임을 알수 있습니다.
7. 삼각함수의 도함수
이건 정말 설명하기 힘든데.. 최대한 해보겠습니다
삼각함수의 도함수는 계속 순환하는 꼴을 가지는데요,
증명부터 보여드리자면
일단 도함수를 구하는 일반적인 식인
여기에 f(x) = sinx를 넣고, 지금까지 배운 삼각함수의 덧셈정리, 극한을 모두 활용하면
또 여기에 f(x) = cosx를 넣고, 지금까지 배운 삼각함수의 덧셈정리, 극한을 모두 활용하면
그리고 af(x)를 미분하면 af'(x)가 된다는 미분의 기본 공식에 의해
-sinx를 미분하면 -cosx, -cosx를 미분하면 다시 sinx가 됩니다.
따라서
사인 코사인 -사인 -코사인 사인 코사인 -사인 -코사인 .... 이렇게 순환하게 되죠.
8. 삼각함수 / 지수함수 의 매클로린 급수
드디어 마지막 스텝이네요.
이제 처음 배운 테일러전개식에 sinx를 넣고 계산해보면
이번엔 cosx를 넣고 계산해보면
이번엔 e^x를 넣고 계산해서
e^ix까지 구해보면
어? 괄호 안에 있는 식 어디서 많이 보시지 않았나요?
그렇습니다.
첫번째 괄호는 cosx, 두번째 괄호는 sinx의 테일러 전개입니다.
정말 아름답지 않나요?
지수함수에 i 하나 넣었다고 삼각함수 둘이 튀어나오는 게.
그럼 최종적인 공식(괄호를 삼각함수로 갈아끼우면)
이곳에 x = π를 넣어주면
-1를 이항하면,
세상에서 가장 아름다운 공식, 오일러 등식의 증명이였습니다.
(이거 쓰느라 40분 걸렸네요;;)
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