단진동 식유도(이계미분방정식) 푸는법좀 알려주세요!

1. 각진폭이 매우 작을 때, theta가 Asin(wt)입니다. x=rtheta 이기 때문에 대충 x=Asin(wt)라고 근사하는 거죠. (그리고 상당히 정확합니다.) 운동 생김새가 다르다고 하셨는데, 각진폭이 작다는 가정 하에 두 운동은 동일합니다. 수식을 보시면 더 간결해질 듯 합니다.

2. 미분방정식으로 유도가 가능합니다.
물론 그냥 Asin(wt)하면 안 되고 위상차 phi 가 있어야 합니다. 일반적인 해는 Asin(wt+phi). 그런데 초기조건을 줘서 phi를 0으로 만드는 경우가 많죠.

3. 풀어드리겠습니다.
그런데 동차선형상계수이계미분방정식의 일반해를 알려드리는 건 불필요하고 번거로울 것 같습니다. 증명은 생략하고 방법만 알려드리겠습니다. 따로 쪽지 주시면 유도도 해드릴게요.

y''+ay'+by=0의 일반해를 구하는 방법은 다음과 같습니다.
이차방정식 z^2+az+b=0의 두 해를 l,m 이라고 합시다. (두 근이 다를 때)

그렇다면 y=Ae^(lx)+Be^(mx) 입니다. (A, B는 초기조건으로만 결정되는 상수, e는 자연대수)

두 근이 서로 다른 두 실수이든, 서로 다른 두 복소수이든 상관없이 위 식을 씁니다.

그렇다면 z^2+az+b=0이 중근 m을 가진다고 합시다. 그렇다면
y=(Ax+B)e^(mx) 가 됩니다.

그렇다면 a=-(k/m)x를 봅시다. (F=ma=kx가 아닌, -kx라고 쓰는 것이 물리학적으로 유의미하고 상당히 중요합니다.)

x''+(k/m)x=0
z^2+(k/m)=0의 두 근은 i루트 (k/m), -i루트 (k/m)이 됩니다. (i는 허수단위)

따라서 x=Ae^(i루트(k/m))+Be^(-i루트(k/m)) 입니다. 초기조건 t=0일 때 x=X(진폭), v=0을 가정합니다.

x(0)=A+B=X
v=루트(k/m)[Ae^(i루트(k/m))-Be^(-i루트(k/m))]
v(0)=루트(k/m)[A-B]=0

따라서 A=B=X/2

x=(X/2)[e^(i루트(k/m))+e^(i루트(k/m))

오일러의 공식(e^(ix)=cosx + i sinx)를 사용하면,

x=Xcos(루트(k/m)t)

루트(k/m)=w가 오메가의 정의이므로

x=Xcos(wt).

코사인이 아닌 사인인 이유는 초기조건 때문입니다. t=0일 때 x=0, v=v_max라고 가정하면 사인이 나옵니다.