폰 노이만

존 폰 노이만(John von Neumann)

양자물리학, 논리학, 기상학, 컴퓨터 과학에 크게 기여했다.

그의 게임론은 경제학에 큰 영향을 미쳤다. 그는 어린시절부터 개념을 받아들이고 문제를 푸는 데 놀랄 만큼 빠르며 비상한 기억력을 가졌다고 한다. 베를린대학교에서 화학을 공부했고 취리히의 공과대학에서 1926년 화학공학학위를 받았다. 같은 해에 부다페스트대학교에서 집합론에 관한 논문으로 수학박사학위를 받았다. 그의 공리화는 그 분야에서 불변의 기초가 되었고 20세에 발표한 서수의 정의는 널리 채택되었다.

폰 노이만은 1926~29년에는 베를린대학교, 1929~30년에는 함부르크대학교 강사로 있었다(양자역학). 이 기간에 양자물리학과 연산자이론에 대해 주로 연구했다.

그의 연구 덕분으로 양자물리학과 연산자이론은 한 주제에 대한 두 양상으로 간주할 수 있게 되었다. 그는 벡터에 관한 기본 통찰력이 있어 무한차원 유클리드 공간의 벡터기하학은 양자역학계의 상태구조와 수학적 특성이 같다고 했다. 1930년 폰 노이만은 프린스턴대학교 방문교수였다가 1931년 교수가 되었다.

1932년 통계수학의 '에르고드 가설'을 정확히 공식화하고 증명했다. 1932년에 출판된 양자역학에 관한 저서 〈양자역학의 수학적 기초 The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics〉는 이 주제의 기준이 되는 논술로 남아 있다. 1933년 새로 창설된 프린스턴의 고등연구소 교수가 되어 일생 동안 재직했다. 1900년에 독일 수학자 힐베르트가 20세기 수학연구에 대한 23개의 기본 이론문제들을 제시했는데 폰 노이만은 힐베르트의 5번째 문제의 특수 경우인 콤팩트군인 경우를 풀었다(힐베르트의 23가지 문제).

1930년대 중반 이후 폰 노이만의 중요한 출판물은 F. J. 머레이와 부분적으로 함께 쓴 '연산자 환'(지금은 폰 노이만 대수로 불림)에 관한 것이다.

그의 모든 연구 중에서 이 개념이 가장 오래 기억될 것이며, 현재 양자물리학 연구에서 가장 중요한 도구의 하나이다. 연산자 환의 중요한 파생물은 '연속기하학'이다. 폰 노이만은 공간의 차원구조 특징을 결정하는 것은 그 구조가 허용하는 회전군임을 알았다. 연산자 환과 연관된 회전군은 공간을 연속적으로 변하는 차원으로 묘사할 수 있게 했다.

이와 관련한 예로 3/4차원 공간을 쓸 수 있다. 지금까지 수학자들은 공간을 정수로만 나타냈다. 연산자 환의 '구체적인' 경우로부터 개념을 추상화하여 폰 노이만은 연속차원 공간을 가능하게 하는 공리를 공식화했다. 폰 노이만의 150편의 논문 중 약 20편이 물리학이고 나머지는 순수수학(집합론, 논리학, 위상군, 측도론, 에르고드 이론, 연산자론, 연속기하학), 그리고 응용수학(통계학, 수치해석, 충격파, 흐름의 문제, 유체 역학, 공기역학, 탄도학, 이상폭발문제, 기상학, 새로운 양상의 응용수학인 게임과 컴퓨터)에 고루 분포한다.

그의 출판물은 1940년경 순수에서 응용 연구로 변해갔다.

제2차 세계대전 동안 그는 군대와 민간인 정부기관에서 고문관으로 일해달라는 요청을 받았다. 그가 크게 기여한 2가지는 핵연료 폭발을 위한 내파(內破)방식 채용과 수소폭탄 개발에 참여한 것이다. 그는 정치 및 행정적인 결정에서 대체로 자유주의 편에 서지는 않았다.

그는 전쟁 뒤에도 원자폭탄 실험을 계속 지지했다. 폰 노이만 게임 이론의 수학적 토대는 1928년에 '최소최대 정리'로 발표되었다. 1944년 O. 모르건슈테른과 함께 쓴 책 〈게임과 경제행위 이론 Theory of Games and Economic Behavior〉에 최소최대 정리에 대한 훌륭한 이론과 적용이 나타난다. 최소최대 정리에 의하면 대부분의 2인 게임은 '게임의 여지'가 없다. 각 경기자는 각각의 가능한 전략에 대해, 그 전략으로 잃을 수 있는 최대의 손실을 고려한 다음, 최대의 손실을 최소화하는 전략을 '최적'의 전략으로 선택한다.

이 논법을 따른다면 경기자는 최소최대값으로 일컫는 값 이상은 잃지 않는다는 것이 통계적으로 확실하다. 최소최대값은 위와 유사하게 정의되는 게임 상대자가 얻을 수 있는 값에 음수를 취한 값이기 때문에 게임 최후의 결과는 게임 규칙에 의해 완전히 결정된다. 컴퓨터 이론에서 폰 노이만은 논리설계에 개척적인 연구를 많이 했다.

즉 신뢰할 수 없는 요소를 가진 기계로부터 신뢰할 수 있는 답을 얻는 문제, '기억' 기능, '임의성'의 기계모방, 그리고 같은 종류를 재생산하는 자동장치 등이다. 그가 컴퓨터 기술을 적용하도록 제안한 연구 중 가장 뛰어난 착상 중 하나는 북극의 빙판이 반사하는 열량을 줄이기 위해 극의 빙판을 염색하자는 것이었다(그러면 지구가 따뜻해져서 아이슬란드의 기후가 하와이의 기후와 가깝게 될 수 있으리라고 여김). '공리적 방법'은 때로 폰 노이만의 성공의 비결이라고 일컬어진다. 그의 방식에서 공리적 방법은 현학이 아니라 통찰이었다.

그는 다른 모든 정리들이 뒤따르는 근본 성질(공리)에 역점을 두어 문제의 근원을 밝혔다. 그의 통찰은 분명하고 그의 진술은 정확했다.